【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣ex﹣2x.
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)設(shè)g(x)=f(2x)﹣4bf(x),當(dāng)x>0時(shí),g(x)>0,求b的最大值;
(3)已知1.4142< <1.4143,估計(jì)ln2的近似值(精確到0.001).

【答案】
(1)解:由f(x)得f′(x)=ex+ex﹣2 ,

即f′(x)≥0,當(dāng)且僅當(dāng)ex=ex即x=0時(shí),f′(x)=0,

∴函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù).


(2)解:g(x)=f(2x)﹣4bf(x)=e2x﹣e2x﹣4b(ex﹣ex)+(8b﹣4)x,

則g′(x)=2[e2x+e2x﹣2b(ex+ex)+(4b﹣2)]

=2[(ex+ex2﹣2b(ex+ex)+(4b﹣4)]

=2(ex+ex﹣2)(ex+ex+2﹣2b).

①∵ex+ex>2,ex+ex+2>4,

∴當(dāng)2b≤4,即b≤2時(shí),g′(x)≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào),

從而g(x)在R上為增函數(shù),而g(0)=0,

∴x>0時(shí),g(x)>0,符合題意.

②當(dāng)b>2時(shí),若x滿足2<ex+ex<2b﹣2即 ,得 ,此時(shí),g′(x)<0,

又由g(0)=0知,當(dāng) 時(shí),g(x)<0,不符合題意.

綜合①、②知,b≤2,得b的最大值為2.


(3)解:∵1.4142< <1.4143,根據(jù)(Ⅱ)中g(shù)(x)=e2x﹣e2x﹣4b(ex﹣ex)+(8b﹣4)x,

為了湊配ln2,并利用 的近似值,故將ln 代入g(x)的解析式中,

當(dāng)b=2時(shí),由g(x)>0,得 ,

從而 ;

,得 >2,當(dāng) 時(shí),

由g(x)<0,得 ,得

所以ln2的近似值為0.693.


【解析】對(duì)第(1)問,直接求導(dǎo)后,利用基本不等式可達(dá)到目的;
對(duì)第(2)問,先驗(yàn)證g(0)=0,只需說明g(x)在[0+∞)上為增函數(shù)即可,從而問題轉(zhuǎn)化為“判斷g′(x)>0是否成立”的問題;
對(duì)第(3)問,根據(jù)第(2)問的結(jié)論,設(shè)法利用 的近似值,并尋求ln2,于是在b=2及b>2的情況下分別計(jì)算 ,最后可估計(jì)ln2的近似值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.{Sn}是等差數(shù)列
B.{Sn2}是等差數(shù)列
C.{dn}是等差數(shù)列
D.{dn2}是等差數(shù)列

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A.m>n且e1e2>1
B.m>n且e1e2<1
C.m<n且e1e2>1
D.m<n且e1e2<1

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(2)設(shè)bn=[an],求數(shù)列{bn}的前10項(xiàng)和,其中[x]表示不超過x的最大整數(shù),如[0.9]=0,[2.6]=2.

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