Question

在直角坐標(biāo)平面上給定一曲線y²=2x,
(1)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為,求曲線上距點(diǎn)A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng)的距離|PA|.
(2)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0),a∈R,求曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)A距離的最小值d_min,并寫(xiě)出d_min=f(a)的函數(shù)表達(dá)式.

Answer 1

（1）|PA|=      （2）d_min=f(a)=

(1)設(shè)M(x,y)為曲線y²=2x上任意一點(diǎn),
則|MA|²=+y²=x²+x+=+,
因?yàn)閤∈[0,+∞),所以當(dāng)x=0時(shí),
|MA=+=,即|MA|_min=.
所以距點(diǎn)A最近的點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,0),這時(shí)|PA|=.
(2)依題意得,
d²=(x-a)²+y²=x²-2ax+a²+2x
=x²-2(a-1)x+a²
=[x-(a-1)]²+(2a-1)
因?yàn)閤∈[0,+∞),
所以分a-1≥0和a-1<0兩種情況討論.
當(dāng)a≥1時(shí),=2a-1,即d_min=,
當(dāng)a<1時(shí),=[0-(a-1)]²+(2a-1)=a²,
即d_min=|a|.
這時(shí)恰好拋物線頂點(diǎn)(0,0)與點(diǎn)A(a,0)最近.
所以d_min=f(a)=