Question

（2008•鹽城一模）設(shè)e₁，e₂分別為具有公共焦點(diǎn)F₁與F₂的橢圓和雙曲線的離心率，P為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且滿足

PF1

•

PF2

=0，則

e 2 1 + e 2 2

(e1e2)2

的值為

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，設(shè)它們共同的焦距為2c、橢圓的長軸長2a、雙曲線的實(shí)軸長為2m，由橢圓和雙曲線的定義及勾弦定理建立關(guān)于a、c、m的方程，聯(lián)解可得a²+m²=2c²，再根據(jù)離心率的定義化簡整理即可得到

e 2 1 + e 2 2

(e1e2)2

的值．

解答：解：由題意設(shè)焦距為2c，橢圓的長軸長2a，雙曲線的實(shí)軸長為2m，
設(shè)P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義得|PF₁|-|PF₂|=2m  ①
由橢圓的定義|PF₁|+|PF₂|=2a  ②
又∵

PF1

•

PF2

=0∴

PF1

⊥

PF2

，可得∠F₁PF₂=90⁰，
故|PF₁|²+|PF₂|²=4c²   ③
①平方+②平方，得|PF₁|²+|PF₂|²=2a²+2m²④
將④代入③，化簡得a²+m²=2c²，即

1 c 2

a2

+

1 c 2

m2

=2，可得

1

e12

+

1

e22

=2
因此，

e 2 1 + e 2 2

(e1e2)2

=

1

e12

+

1

e22

=2
故答案為：2

點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線與橢圓有公共的焦點(diǎn)，在它們的一個(gè)交點(diǎn)對(duì)兩個(gè)焦點(diǎn)所成角為直角的情況下求它們離心率的平方倒數(shù)和．著重考查了橢圓和雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．