Question

若不等式x²-log_mx＜0在（0，

1

2

）內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

[

1

16

，1）

．

Answer 1

分析：把已知的不等式變形，轉(zhuǎn)化為一個(gè)二次函數(shù)和一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象高低問題，然后列出不等式求解m的取值范圍．

解答：解：由x²-log_mx＜0，得x²＜log_mx，在同一坐標(biāo)系中作y=x²和y=log_mx的草圖，如圖所示

要使x²＜log_mx在（0，

1

2

）內(nèi)恒成立，只要y=log_mx在（0，

1

2

）內(nèi)的圖象在y=x²的上方，
于是0＜m＜1
∵x=

1

2

時(shí)，y=x2=

1

4

∴只要x=

1

2

時(shí)，y=logm

1

2

≥

1

4

=logmm

1

4

，
∴

1

2

≤m

1

4

，即

1

16

≤m．
又0＜m＜1，
∴

1

16

≤m＜1．
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是[

1

16

，1)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了恒成立問題，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，正確畫出圖象是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．