Question

已知x₁、x₂是方程4x²-4mx+m+2=0的兩個實根．
（1）當實數m為何值時，x₁²+x₂²取得最小值？
（2）若x₁、x₂都大于，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵x₁、x₂是方程4x²-4mx+m+2=0的兩個實根
∵△=16m²-16（m+2）=16（m²-m-2）≥0，
∴m≤-1或m≥2，…（3分）
∵x₁+x₂=m，x₁x₂=
∴+=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=m²-2•=（m-）²-，
∴當m=-1時，x₁²+x₂²有最小值．…（7分）
（2）∵x₁、x₂都大于
∴（x₁-）（x₂-）＞0且（x₁-）+（x₂-）＞0，
即x₁x₂-（x₁+x₂）+＞0且x₁+x₂-1＞0，…（10分）
∴-m+＞0且m-1＞0，
∴m＜3，且m＞1，…（12分）
又∵△≥0，
∴2≤m＜3．…（14分）
分析：（1）利用韋達定理，得出根與系數的關系，利用+=（x₁+x₂）²-2x₁x₂可構建函數，從而可求實數m的值；
（2）將x₁、x₂都大于，轉化為（x₁-）（x₂-）＞0且（x₁-）+（x₂-）＞0，再利用韋達定理，即可求得m的取值范圍．
點評：本題以方程為載體，考查韋達定理的運用，考查學生等價轉化問題的能力，解題的關鍵是將x₁、x₂都大于，轉化為（x₁-）（x₂-）＞0且（x₁-）+（x₂-）＞0．