【題目】在直三棱柱中,為正三角形,點在棱上,且,點、分別為棱、的中點.
(1)證明:平面;
(2)若,求直線與平面所成的角的正弦值.
【答案】(1)見解析;(2).
【解析】
(1)連接,連接分別交、于點、,再連接,證明出,結(jié)合條件可得出,然后利用直線與平面平行的判定定理可證明出平面;
(2)取的中點,連接、,證明出平面,且,設(shè)等邊三角形的邊長為,并設(shè),以點為坐標(biāo)原點,、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,由得出的值,并計算出平面的法向量,利用空間向量法求出直線與平面所成的角的正弦值.
(1)如下圖所示,連接,連接分別交、于點、,再連接,
、分別為、的中點,則,,則為的中點,
在直三棱柱中,,則四邊形為平行四邊形,
,為的中點,,,
,,
平面,平面,平面;
(2)取的中點,連接、,
四邊形為平行四邊形,則,
、分別為、的中點,,所以,四邊形是平行四邊形,
,在直三棱柱中,平面,平面,
是等邊三角形,且點是的中點,,
以點為坐標(biāo)原點,、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)的邊長為,,則點、、、、、、,,,
,則,得,
,,.
設(shè)平面的法向量為,由,得.
令,可得,,所以,平面的一個法向量為,
,
因此,直線與平面所成的角的正弦值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.
(Ⅰ)證明AB⊥A1C;
(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直線A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值。
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【題目】如圖,在長方形中,,,點為線段上一動點,現(xiàn)將沿折起,使點在面內(nèi)的射影在直線上,當(dāng)點從運(yùn)動到,則點所形成軌跡的長度為( )
A. B. C. D.
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【題目】命題方程表示雙曲線;命題不等式的解集是. 為假, 為真,求的取值范圍.
【答案】
【解析】試題分析:由命題方程表示雙曲線,求出的取值范圍,由命題不等式的解集是,求出的取值范圍,由為假, 為真,得出一真一假,分兩種情況即可得出的取值范圍.
試題解析:
真
,
真 或
∴
真假
假真
∴范圍為
【題型】解答題
【結(jié)束】
18
【題目】如圖,設(shè)是圓上的動點,點是在軸上的投影, 為上一點,且.
(1)當(dāng)在圓上運(yùn)動時,求點的軌跡的方程;
(2)求過點且斜率為的直線被所截線段的長度.
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【題目】某工廠的機(jī)器上有一種易損元件A,這種元件在使用過程中發(fā)生損壞時,需要送維修處維修.工廠規(guī)定當(dāng)日損壞的元件A在次日早上 8:30 之前送到維修處,并要求維修人員當(dāng)日必須完成所有損壞元件A的維修工作.每個工人獨立維修A元件需要時間相同.維修處記錄了某月從1日到20日每天維修元件A的個數(shù),具體數(shù)據(jù)如下表:
日期 | 1 日 | 2 日 | 3 日 | 4 日 | 5 日 | 6 日 | 7 日 | 8 日 | 9 日 | 10 日 |
元件A個數(shù) | 9 | 15 | 12 | 18 | 12 | 18 | 9 | 9 | 24 | 12 |
日期 | 11 日 | 12 日 | 13 日 | 14 日 | 15 日 | 16 日 | 17 日 | 18 日 | 19 日 | 20 日 |
元件A個數(shù) | 12 | 24 | 15 | 15 | 15 | 12 | 15 | 15 | 15 | 24 |
從這20天中隨機(jī)選取一天,隨機(jī)變量X表示在維修處該天元件A的維修個數(shù).
(Ⅰ)求X的分布列與數(shù)學(xué)期望;
(Ⅱ)若a,b,且b-a=6,求最大值;
(Ⅲ)目前維修處有兩名工人從事維修工作,為使每個維修工人每天維修元件A的個數(shù)的數(shù)學(xué)期望不超過4個,至少需要增加幾名維修工人?(只需寫出結(jié)論)
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【題目】(多選)已知函數(shù),其中正確結(jié)論的是( )
A.當(dāng)時,函數(shù)有最大值.
B.對于任意的,函數(shù)一定存在最小值.
C.對于任意的,函數(shù)是上的增函數(shù).
D.對于任意的,都有函數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形為平行四邊形,,平面,,,,.
(1)若是線段的中點,求證:平面;
(2)若,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點,圓:與軸的正半軸的交點是,過點的直線與圓交于不同的兩點.
(1)若直線與軸交于,且,求直線的方程;
(2)設(shè)直線,的斜率分別是,,求的值;
(3)設(shè)的中點為,點,若,求的面積.
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