Question

已知95個數(shù)a₁，a₂，…，a₉₅每個都只能取+1或-1兩個值之一，那么它們的兩兩之積的和a₁a₂+a₁a₃+…+a₉₄a₉₅的最小正值為

13

．

Answer 1

分析：令t=a₁a₂+a₁a₃+…+a₉₄a₉₅，進而可得2t=2（a₁a₂+a₁a₃+…+a₉₄a₉₅）=（a₁+a₂+…+a₉₅）²-（a₁²+a₂²+…+a₉₅²），分析易得a₁²+a₂²+…+a₉₅²=95，即2t=（a₁+a₂+…+a₉₅）²-95，分析a₁+a₂+…+a₉₅的特點，可得（a₁+a₂+…+a₉₅）=±11時，t取得最小值，將其代入2t=（a₁+a₂+…+a₉₅）²-95中，變形可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，令t=a₁a₂+a₁a₃+…+a₉₄a₉₅
則2t=2（a₁a₂+a₁a₃+…+a₉₄a₉₅）=（a₁+a₂+…+a₉₅）²-（a₁²+a₂²+…+a₉₅²），
又由a₁，a₂，…，a₉₅每個都只能取+1或-1兩個值之一，則a₁²+a₂²+…+a₉₅²=95
即2t=（a₁+a₂+…+a₉₅）²-95，
要使t取最小正數(shù)，t中（a₁+a₂+…+a₉₅）²大于95即可，
而a₁+a₂+…+a₉₅為奇數(shù)個-1、1的和，不會得偶數(shù)，
則要使所求值取最小正數(shù)，須使（a₁+a₂+…+a₉₅）=±11，
因此t的最小值為

121-95

2

=13．
故答案為：13．

點評：本題考查等式的恒等變形的應用，解題注意轉(zhuǎn)化思想，利用2（a₁a₂+a₁a₃+…+a₉₄a₉₅）=（a₁+a₂+…+a₉₅）²-（a₁²+a₂²+…+a₉₅²）來解題．