Question

【題目】已知函數(shù) f（x）=ax2+2x﹣lnx（a∈R）．

（Ⅰ）若 a=4，求函數(shù) f（x）的極值；

（Ⅱ）若 f′（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有唯一的零點 x0，求 a 的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】分析：（1）當a=4時，化簡函數(shù)的解析式，求出定義域，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出極值點，利用導(dǎo)函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解極值即可；

（2）方法一：利用，通過導(dǎo)函數(shù)為0，構(gòu)造新函數(shù)，通過分類討論求解即可.

方法二：令，由得，設(shè)，則，，問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象在恰有一個交點問題，即可求a 的取值范圍．

詳解：（Ⅰ）當 a=4 時，f（x）=4x2+2x﹣lnx，x∈（0，+∞），

由 x∈（0，+∞），令 f'（x）=0，得．

當 x 變化時，f'（x），f（x）的變化如下表：

x
f'（x）	﹣	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

故函數(shù) f（x）在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，f（x）有極小值， 無極大值．…

（Ⅱ）解法一，

令 f'（x）=0，得 2ax2+2x﹣1=0，設(shè) h（x）=2ax2+2x﹣1．

則 f'（x）在（0，1）有唯一的零點 x0 等價于 h（x）在（0，1）有唯一的零點 x0

當 a=0 時，方程的解為，滿足題意

當 a＞0 時，由函數(shù) h（x）圖象的對稱軸，函數(shù) h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增， 且 h（0）=﹣1，h（1）=2a+1＞0，所以滿足題意；

當 a＜0，△=0 時，，此時方程的解為 x=1，不符合題意； 當 a＜0，△≠0 時，由 h（0）=﹣1，

只需 h（1）=2a+1＞0，得

（說明：△=0 未討論扣 1 分）

解法二：

（Ⅱ），

令 f'（x）=0，由 2ax2+2x﹣1=0，得．

設(shè)，則 m∈（1，+∞），，

問題轉(zhuǎn)化為直線 y=a 與函數(shù)的圖象在（1，+∞）恰有一個交點問題． 又當 m∈（1，+∞）時，h（m）單調(diào)遞增，

故直線 y=a 與函數(shù) h（m）的圖象恰有一個交點，當且僅當． …