(2011•惠州模擬)如圖,在正方體AC1中,過點(diǎn)A作平面A1BD的垂線,垂足為點(diǎn)H,則以下命題中,錯誤的命題是( 。
分析:因為三棱錐A-A1BD是正三棱錐,所以H是正三角形-A1BD的中心,故A正確;根據(jù)正三棱錐A-A1BD和正三棱錐C1-A1BD的高線都經(jīng)過H點(diǎn),結(jié)合垂線的唯一性可得B正確;根據(jù)平面A1BD∥平面CB1D1,結(jié)合面面平行的性質(zhì),得到C正確;通過計算可得直線AH和BB1所成角為arccos
3
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,故D不正確.
解答:解:對于A,因為三棱錐A-A1BD是正三棱錐,故頂點(diǎn)A在底面的射影是底面正三角形的中心,所以點(diǎn)H是也是△A1BD的垂心,故A正確;
對于B,因為三棱錐C1-A1BD是正三棱錐,而H是底面的中心,故C1H是正三棱錐C1-A1BD的高線,因為經(jīng)過點(diǎn)H與平面A1BD垂直的直線有且只有一條,故A、H、C1三點(diǎn)共線,即AH的延長線經(jīng)過點(diǎn)C1,故B正確;
對于C,因為平面A1BD∥平面CB1D1,而AH垂直平面A1BD,所以根據(jù)面面平行的性質(zhì),可得AH垂直平面CB1D1,故C正確;
對于D,可在正三棱錐A-A1BD中,算出cos∠A1AH=
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,結(jié)合AA1∥BB1,可得直線AH和BB1所成角為arccos
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,故D不正確.
故選D
點(diǎn)評:本題給出正方體模型,要我們判斷幾個命題的真假,著重考查了空間的平行與垂直的位置關(guān)系和正三棱錐的性質(zhì)等知識點(diǎn),屬于基礎(chǔ)題.
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