【題目】如圖,AC⊥BC,O為AB中點(diǎn),且DC⊥平面ABC,DC∥BE.已知AC=BC=DC=BE=2.
(1)求直線AD與CE所成角;
(2)求二面角O-CE-B的余弦值.
【答案】(1)60°(2 )
【解析】
(1)先根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系,求得向量和向量的坐標(biāo),再利用線線角的向量方法求解.
(2)易知平面BCE的一個(gè)法向量為=(0,1,0),再求得平面OCE的一個(gè)法向量,利用面面角的向量方法求解.
(1)因?yàn)?/span>AC⊥CB且DC⊥平面ABC,
則以C為原點(diǎn),CB為x軸正方向,CA為y軸正方向,CD為z軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
因?yàn)?/span>AC=BC=BE=2,
則C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),O(1,1,0),E(2,0,2),D(0,0,2)
所以 =(0,-2,2),=(2,0,2)
所以cos〈,〉= ==.
所以直線AD和CE的夾角為60°.
(2) 易知平面BCE的一個(gè)法向量為=(0,1,0),
設(shè)平面OCE的法向量=(x0,y0,z0).
由=(1,1,0),=(2,0,2)且⊥,⊥,
得則
解得
取x0=-1,則=(-1,1,1).
因?yàn)槎娼?/span>O-CE-B為銳二面角,記為θ,
則cosθ=|cos〈,〉|==.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,棱長(zhǎng)為1的正方體中,是線段上的動(dòng)點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是( ).
①異面直線與所成的角為
②
③三棱錐的體積為定值
④的最小值為2.
A.①②③B.①②④C.③④D.②③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“大湖名城,創(chuàng)新高地”的合肥,歷史文化積淀深厚,民俗和人文景觀豐富,科教資源眾多,自然風(fēng)光秀美,成為中小學(xué)生“研學(xué)游”的理想之地.為了將來更好地推進(jìn)“研學(xué)游”項(xiàng)目,某旅游學(xué)校一位實(shí)習(xí)生,在某旅行社實(shí)習(xí)期間,把“研學(xué)游”項(xiàng)目分為科技體驗(yàn)游、民俗人文游、自然風(fēng)光游三種類型,并在前幾年該旅行社接待的全省高一學(xué)生“研學(xué)游”學(xué)校中,隨機(jī)抽取了100所學(xué)校,統(tǒng)計(jì)如下:
研學(xué)游類型 | 科技體驗(yàn)游 | 民俗人文游 | 自然風(fēng)光游 |
學(xué)校數(shù) | 40 | 40 | 20 |
該實(shí)習(xí)生在明年省內(nèi)有意向組織高一“研學(xué)游”學(xué)校中,隨機(jī)抽取了3所學(xué)校,并以統(tǒng)計(jì)的頻率代替學(xué)校選擇研學(xué)游類型的概率(假設(shè)每所學(xué)校在選擇研學(xué)游類型時(shí)僅選擇其中一類,且不受其他學(xué)校選擇結(jié)果的影響):
(1)若這3所學(xué)校選擇的研學(xué)游類型是“科技體驗(yàn)游”和“自然風(fēng)光游”,求這兩種類型都有學(xué)校選擇的概率;
(2)設(shè)這3所學(xué)校中選擇“科技體驗(yàn)游”學(xué)校數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2017高考新課標(biāo)Ⅲ,理19)如圖,四面體ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.
(1)證明:平面ACD⊥平面ABC;
(2)過AC的平面交BD于點(diǎn)E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分,求二面角D–AE–C的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,已知正四棱錐PABCD的高OP=2,點(diǎn)B,D和C,A分別在x軸和y軸上,且AB= ,點(diǎn)M是棱PC的中點(diǎn).
(1)求直線AM與平面PAB所成角的正弦值;
(2)求二面角A-PB-C的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐PABCD中,AP,AB,AD兩兩垂直,BC∥AD,且AP=AB=AD=4,BC=2.
(1)求二面角P-CD-A的余弦值;
(2)已知H為線段PC上異于C的點(diǎn),且DC=DH,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若、兩點(diǎn)分別在函數(shù)與的圖像上,且關(guān)于直線對(duì)稱,則稱、是與的一對(duì)“伴點(diǎn)”(、與、視為相同的一對(duì)).已知,,若與存在兩對(duì)“伴點(diǎn)”,則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)且時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),若函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為、,證明.
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