Question

【題目】設函數(shù)y=f（x）的定義域為D，值域為A，如果存在函數(shù)x=g（t），使得函數(shù)y=f[g（t）]的值域仍是A，那么稱x=g（t）是函數(shù)y=f（x）的一個等值域變換．
（1）判斷下列函數(shù)x=g（t）是不是函數(shù)y=f（x）的一個等值域變換？說明你的理由； ① ；
②f（x）=x2﹣x+1，x∈R，x=g（t）=2t ， t∈R．
（2）設f（x）=log2x的定義域為x∈[2，8]，已知 是y=f（x）的一個等值域變換，且函數(shù)y=f[g（t）]的定義域為R，求實數(shù)m、n的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在①中，∵ ，

∴函數(shù)y=f（x）的值域為R，函數(shù)y=f[g（t）]的值域是（0，+∞），

故①不是等值域變換，

在②中， ，即f（x）的值域為 ，

當t∈R時， ，即y=f[g（t）]的值域仍為 ，

∴x=g（t）是f（x）的一個等值域變換，故②是等值域變換．

（2）解：f（x）=log2x定義域為[2，8]，因為x=g（t）是f（x）的一個等值域變換，

且函數(shù)y=f[g（t）]的定義域為R，

∴ 的值域為[2，8]，

，

∴恒有 ，

解得 ．

【解析】（1）在①中，函數(shù)y=f（x）的值域為R，函數(shù)y=f[g（t）]的值域是（0，+∞）；在②中，f（x）的值域為 ，y=f[g（t）]的值域仍為 ．（2）由已知得 的值域為[2，8]， ，由此能求出實數(shù)m、n的值．