(2008•佛山一模)已知函數(shù)f(x)=ax+bsinx,當(dāng)x=
π
3
時,f(x)取得極小值
π
3
-
3

(1)求a,b的值;
(2)設(shè)直線l:y=g(x),曲線S:y=f(x).若直線l與曲線S同時滿足下列兩個條件:
①直線l與曲線S相切且至少有兩個切點;
②對任意x∈R都有g(shù)(x)≥f(x).則稱直線l為曲線S的“上夾線”.試證明:直線l:y=x+2為曲線S:y=ax+bsinx“上夾線”.
分析:(1)由題意可得,f′(x)=a+bcosx,
a+
1
2
b=0
π
3
•a+
3
2
b=
π
3
-
3
,從而可求得a,b的值;
(2)依題意,可證得(-
π
2
,-
π
2
+2)是直線l與曲線S的切點,(
2
,
2
+2)也是直線l與曲線S的切點;滿足①;對任意x∈R,g(x)-f(x)═2+2sinx≥0,滿足②,從而可證得結(jié)論.
解答:解:(1)∵f(x)=ax+bsinx,
∴f′(x)=a+bcosx,
而由已知得:
a+
1
2
b=0
π
3
•a+
3
2
b=
π
3
-
3

∴a=1,b=-2,
此時f(x)=x-2sinx,
∴f′(x)=1-2cosx,
當(dāng)x∈(0,
π
3
)時,f′(x)<0,
當(dāng)∈(
π
3
π
2
)時,f′(x)>0,
∴當(dāng)x=
π
3
時,f(x)取得極小值
π
3
-
3

即a=1,b=-2符合題意;
(2)證明:由f′(x)=1-2cosx=1,得cosx=0,
當(dāng)x=-
π
2
時,cosx=0,此時y1=x+2=-
π
2
+2,y2=x-2sinx=-
π
2
+2,
∴y1=y2,
∴(-
π
2
,-
π
2
+2)是直線l與曲線S的切點;
當(dāng)x=
2
時,cosx=0,此時y1=x+2=
2
+2,y2=x-2sinx=
2
+2,
∴y1=y2
∴(
2
,
2
+2)也是直線l與曲線S的切點;
∴直線l與曲線S相切且至少有兩個切點,
對任意x∈R,g(x)-f(x)=(x+2)-(x-2sinx)=2+2sinx≥0
即g(x)≥f(x),因此直線l:y=x+2為曲線S:y=x-2sinx“上夾線”.
點評:本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,(1)求得a=1,b=-2后,需分析驗證“x=
π
3
時,f(x)取得極小值”,學(xué)生易忘記這一步;(2)中,分析(-
π
2
,-
π
2
+2)與(
2
,
2
+2)是直線l與曲線S的切點,即滿足①是難點,考查綜合分析與推理的能力,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
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2

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x2
4
-y2=1
,則其漸近線方程為
y=±
1
2
x
y=±
1
2
x
,離心率為
5
2
5
2

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