(2008•佛山一模)如圖,在組合體中,ABCD-A1B1C1D1是一個(gè)長(zhǎng)方體,P-ABCD是一個(gè)四棱錐.AB=2,BC=3,點(diǎn)P∈平面CC1D1D且PD=PC=
2

(Ⅰ)證明:PD⊥平面PBC;
(Ⅱ)求PA與平面ABCD所成的角的正切值;
(Ⅲ)若AA1=a,當(dāng)a為何值時(shí),PC∥平面AB1D.
分析:方法一:(Ⅰ)證明PD垂直于平面PBC內(nèi)的兩條相交直線PC和BC,由線面垂直的判定定理,可得PD⊥平面PBC;
(Ⅱ)過P點(diǎn)在平面CC1D1D作PE⊥CD于E,連接AE,可得∠PAE就是PA與平面ABCD所成的角,從而可求PA與平面ABCD所成的角的正切值;
(Ⅲ)當(dāng)a=2時(shí),PC∥平面AB1D,利用線面平行的判定可得結(jié)論;
方法二:(Ⅰ)建立空間直角坐標(biāo)系,證明PD垂直于平面PBC內(nèi)的兩條相交直線PC和BC,由線面垂直的判定定理,可得PD⊥平面PBC;
(Ⅱ)求得
PA
=(3,-1,-1)
,平面ABCD的一個(gè)法向量為
n1
=(0,0,1)
,利用向量的夾角公式,可求PA與平面ABCD所成的角的正切值;
(Ⅲ)求得平面AB1D的一個(gè)法向量為
n2
=(0,a,2)
,要使得PC∥平面AB1D,則要
PC
n2
,從而可得結(jié)論.
解答:方法一:(Ⅰ)證明:因?yàn)?span id="6116611" class="MathJye">PD=PC=
2
,CD=AB=2,
所以△PCD為等腰直角三角形,所以PD⊥PC.                …(1分)
因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1是一個(gè)長(zhǎng)方體,所以BC⊥面CC1D1D,
而P∈平面CC1D1D,所以PD?面CC1D1D,所以BC⊥PD.    (3分)
因?yàn)镻D垂直于平面PBC內(nèi)的兩條相交直線PC和BC,
所以由線面垂直的判定定理,可得PD⊥平面PBC.…(4分)
(Ⅱ)解:過P點(diǎn)在平面CC1D1D作PE⊥CD于E,連接AE.…(5分)
因?yàn)槊鍭BCD⊥面PCD,所以PE⊥面ABCD,
所以∠PAE就是PA與平面ABCD所成的角.…(6分)
因?yàn)镻E=1,AE=
10
,所以tan∠PAE=
PE
AE
=
1
10
=
10
10

所以PA與平面ABCD所成的角的正切值為
10
10
.…(8分)
(Ⅲ)解:當(dāng)a=2時(shí),PC∥平面AB1D.…(9分)
當(dāng)a=2時(shí),四邊形CC1D1D是一個(gè)正方形,所以∠C1DC=45°,
而∠PDC=45°,所以∠PDC1=90°,所以C1D⊥PD.…(10分)
而PC⊥PD,C1D與PC在同一個(gè)平面內(nèi),所以PC∥C1D.…(11分)
而C1D?面AB1C1D,所以PC∥面AB1C1D,所以PC∥平面AB1D. …(12分)
方法二:(Ⅰ)證明:如圖建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)棱長(zhǎng)AA1=a,則有D(0,0,a),P(0,1,a+1),B(3,2,a),C(0,2,a).  …(2分)
于是
PD
=(0,-1,-1)
,
PB
=(3,1,-1)
PC
=(0,1,-1)
,所以
PD
PB
=0
PD
PC
=0
.…(3分)
所以PD垂直于平面PBC內(nèi)的兩條相交直線PC和BC,由線面垂直的判定定理,可得PD⊥平面PBC.  …(4分)
(Ⅱ)解:A(3,0,a),所以
PA
=(3,-1,-1)
,而平面ABCD的一個(gè)法向量為
n1
=(0,0,1)
.…(5分)
所以cos<
PD
n1
>=
-1
11
×1
=-
11
11
.…(6分)
所以PA與平面ABCD所成的角的正弦值為
11
11
. …(7分)
所以PA與平面ABCD所成的角的正切值為
10
10
.…(8分)
(Ⅲ)解:B1=(3,2,0),所以
DA
=(3,0,0)
,
AB1
=(0,2,-a)

設(shè)平面AB1D的法向量為
n2
=(x,y,z)
,則有
DA
n2
=3x=0
AB1
n2
=2y-az=0
,
令z=2,可得平面AB1D的一個(gè)法向量為
n2
=(0,a,2)
.  …(10分)
若要使得PC∥平面AB1D,則要
PC
n2
,即
PC
n2
=a-2=0
,解得a=2.…(11分)
所以當(dāng)a=2時(shí),PC∥平面AB1D.  …(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查線面垂直,考查線面平行,線面角,考查空間向量知識(shí)的運(yùn)用,屬于中檔題.
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2
5
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