【題目】已知圓C1的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,且恰好與直線相切.

()求圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程;

()設(shè)點(diǎn)A為圓上一動(dòng)點(diǎn),AN垂直于x軸于點(diǎn)N,若動(dòng)點(diǎn)Q滿足

(其中m為非零常數(shù)),試求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程;

()()的結(jié)論下,當(dāng)m時(shí),得到動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為曲線C,與l1垂直的直線l與曲線C交于B,D兩點(diǎn),求OBD面積的最大值.

【答案】() C1的方程為x2y2=4;() 點(diǎn)Q的軌跡方程為;().

【解析】分析:由題意首先求得圓的半徑為r=2,結(jié)合圓心坐標(biāo)可得圓C1的方程為x2y2=4.

Ⅱ)設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q(x,y),A(x0,y0),由題意可得,則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為.

由題意結(jié)合()的結(jié)論可知曲線C的方程為,聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得7x2-8bx+4b2-12=0.結(jié)合韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式可得面積函數(shù)為:,則OBD面積的最大值為 .

詳解:Ⅰ)設(shè)圓的半徑為r,圓心到直線l1的距離為d

d=2.

因?yàn)?/span>rd=2,圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,

所以圓C1的方程為x2y2=4.

Ⅱ)設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q(xy),A(x0y0),

ANx軸于點(diǎn)N,N(x0,0),

由題意知,(x,y)=m(x0,y0)+(1-m)·(x0,0),

解得

將點(diǎn)A代入圓C1的方程x2y2=4,

得動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為=1.

Ⅲ)當(dāng)m時(shí),曲線C的方程為=1,

設(shè)直線l的方程為y=-xb,直線l與橢圓=1交點(diǎn)B(x1,y1),D(x2y2),

聯(lián)立方程7x2-8bx+4b2-12=0.

因?yàn)?/span>Δ=48(7-b2)>0,

解得b2<7,且x1x2,x1x2.

又因?yàn)辄c(diǎn)O到直線l的距離d1,

|BD|=·.

所以SOBD··

,

當(dāng)且僅當(dāng)b2=7-b2

b2<7時(shí)取到最大值.

所以OBD面積的最大值為 .

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