170、偶函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-1,0]上單調(diào)遞增,且滿足f(x+1)=-f(x-1),下列判斷:①f(5)=0;②f(x)沒有最小值;③f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱;④f(x)在x=0處取得最大值.其中正確的判斷序號(hào)是
①④
分析:首先根據(jù)f(x)在區(qū)間[-1,0]上單調(diào)遞增且是偶函數(shù),可判斷f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,根據(jù)f(x+1)=-f(x-1)可推出f(x+2)=-f(x)和(x+4)=f(x),進(jìn)而可推斷函數(shù)在[1,2]單調(diào)減,在[2,3]和[3,4]上單調(diào)增而且函數(shù)為以4為周期的函數(shù).進(jìn)而可畫出函數(shù)的示意圖,根據(jù)示意圖判斷①②③④的正誤.
解答:解:f(x+1)=-f(x-1)
∴f(x+2)=f(x+1+1)=-f(x)
∴f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x)
∴函數(shù)f(x)是以4為周期的函數(shù).
∵函數(shù)f(x)為偶函數(shù),
∴y=f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減,
又∵f(x+2)=-f(x)
函數(shù)f(x)在[1,2]上的圖象與在[-1,1]上的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,故③不正確.
故函數(shù)在[-1,1]上的示意圖如下
∴當(dāng)x=0時(shí)
f(0+1)=-f(0-1)=-f(1)
∴f(1)=0
∴f(5)=f(4+1)=f(1)=0
故①正確.
如示意圖,f(2)為函數(shù)的最小值,f(0)=f(4)為函數(shù)最大值.故②不正確,④正確.
故答案為:①④
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的綜合應(yīng)用.解此類題?筛鶕(jù)其奇偶性和對(duì)稱性畫出函數(shù)的示意圖,根據(jù)示意圖來解題,較為方便直觀.
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定義在R上的偶函數(shù)y=f(x)在[0,+∞)上遞減,且f(
1
2
)
=0,則滿足f(log
1
4
x)<0
的x的集合為( 。
A、(-∞,
1
2
)∪(2,+∞)
B、(
1
2
,1)∪(1,2)
C、(
1
2
,1)∪(2,+∞)
D、(0,
1
2
)∪(2,+∞)

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1
2
.求滿足f(log
1
4
x)≥0
的x的取值集合.

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