Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=ax﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)．
（1）求k值；
（2）若f（1）＜0，試判斷y=f（x）的單調(diào)性并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的t的取值范圍；
（3）若f（1）= ，g（x）=a2x+a﹣2x﹣2f（x），求k∈N+在[1，+∞）上的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，∴f（0）=0，

∴1﹣（k﹣1）=0，∴k=2

（2）解：f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1），

若f（1）＜0，則a﹣ ＜0，

∵a＞0且a≠1，

∴a2﹣1＜0，即0＜a＜1

∵ax單調(diào)遞減，a﹣x單調(diào)遞增，

故f（x）在R上單調(diào)遞減．

不等式化為f（x2+tx）＜f（x﹣4），

∴x2+tx＞x﹣4，即x2+（t﹣1）x+4＞0恒成立

∴△=（t﹣1）2﹣16＜0，解得﹣3＜t＜5

（3）解： ，

∴ ，

∴

g（x）=22x+2﹣2x﹣2（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2（2x﹣2﹣x）+2

令t=2x﹣2﹣x

∵t=2x﹣2﹣x在[1，+∞）上為遞增的，

∴

∴設(shè)h（t）=t2﹣2t+2=（t﹣1）2+1，

∴ ，

即g（x）在[1，+∞）上的最小值為

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)進(jìn)行求解即可．（2）根據(jù)不等式求出a的取值范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)性，將不等式恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可．（3）利用換元法，結(jié)合一元二次函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．