Question

【題目】如圖所示的矩形ABCD中，AB=AD=2，點E為AD邊上異于A，D兩點的動點，且EF//AB，G為線段ED的中點，現沿EF將四邊形CDEF折起，使得AE與CF的夾角為60°，連接BD，FD．

(1)探究：在線段EF上是否存在一點M，使得GM//平面BDF，若存在，說明點M的位置，若不存在，請說明理由；

(2)求三棱錐G—BDF的體積的最大值，并計算此時DE的長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）,2

【解析】

（1）取線段EF的中點M，得GM∥DF，由線面平行的判定定理可得GM∥平面BDF；（2）由題意可得AE與DE的夾角為60°，過D作DP垂直于AE交AE于P，可得DP為點D到平面ABFE的距離，設DE＝x，則AE＝BF＝4﹣x，利用等積法寫出三棱錐G﹣BDF的體積，再由基本不等式求最值，并求出DE的長度

（1）取線段EF的中點M，有GM∥平面BDF．

證明如下：如圖所示，取線段EF的中點M，

∵G為線段ED的中點，M為線段EF的中點，

∴GM為△EDF的中位線，故GM∥DF，

又GM平面BDF，DF平面BDF，故GM∥平面BDF；

（2）∵CF∥DE，且AE與CF的夾角為60°，故AE與DE的夾角為60°，即，

過D作DP⊥AE交AE于P，

由已知得DE⊥EF，AE⊥EF，∴EF⊥平面AED，

EF⊥DP,又AEEF=E,∴DP⊥平面AEFB，

即DP為點D到平面ABFE的距離，且，

設DE＝x，則AE＝BF＝4﹣x，

由（1）知GM∥DF，

，

當且僅當4﹣x＝x時等號成立，此時x＝DE＝2．

故三棱錐G﹣BDF的體積的最大值為，此時DE的長度為2．