Question

某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計要求容器的體積為立方米，且．假設(shè)該容器的建造費用僅與其表面積有關(guān)．已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為千元，設(shè)該容器的建造費用為千元．

（Ⅰ）寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）求該容器的建造費用最小時的．

Answer 1

(Ⅰ)；(Ⅱ)當(dāng)時，建造費用最小時當(dāng)時，建造費用最小時.

試題分析：(Ⅰ)由圓柱和球的體積的表達(dá)式，得到l和r的關(guān)系．再由圓柱和球的表面積公式建立關(guān)系式，將表達(dá)式中的l用r表示．并注意到寫定義域時，利用l≥2r，求出自變量r的范圍；(Ⅱ)用導(dǎo)數(shù)的知識解決，注意到定義域的限制，在區(qū)間（0，2]中，極值未必存在，將極值點在區(qū)間內(nèi)和在區(qū)間外進(jìn)行分類討論.
試題解析：（I）設(shè)容器的容積為V，由題意知
故
由于因此                          _.3分
所以建造費用
因此                       _..5分
（II）由（I）得
由于   當(dāng)
令_;所以          .7分
（1）當(dāng)時，

所以是函數(shù)y的極小值點，也是最小值點。           .10分
（2）當(dāng)即時， 當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞減，
所以r=2是函數(shù)y的最小值點，
綜上所述，當(dāng)時，建造費用最小時
當(dāng)時，建造費用最小時                13分