Question

已知函數(shù)f(x)=的圖象在點(diǎn)M(-1,f(-1))處的切線方程為x+2y+5=0.

(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式;

(2)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

Answer 1

剖析:(1)f′(1)即為x+2y+5=0的斜率,從而得出一個(gè)關(guān)于a、b的關(guān)系式.點(diǎn)M(-1,f(-1))在切線上,又得出一個(gè)關(guān)于a、b的等量關(guān)系式.從而可求出a、b.

    (2)利用導(dǎo)數(shù)可求y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

解:(1)由函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)M(-1,f(-1))處的切線方程為x+2y+5=0,知

    -1+2f(-1)+5=0,即f(-1)=-2,f′(-1)=-.

    ∵f′(x)=,

    ∴

    即

    解得a=2,b=3(∵b+1≠0,b=-1舍去).

    ∴所求的函數(shù)解析式是f(x)=.

    (2)f′(x)=.

    令-2x²+12x+6=0,解得x₁=3-2,x₂=3+2.

    當(dāng)x＜3-2或x＞3+2時(shí),f′(x)＜0;

    當(dāng)3-2＜x＜3+2時(shí),f′(x)＞0.

    所以f(x)=在(-∞,3-2)內(nèi)是減函數(shù),在(3-2,3+2)內(nèi)是增函數(shù),在(3+2,+∞)內(nèi)是減函數(shù).

講評:本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識,考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.