【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣
(1)若a>0,試判斷f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性;
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值為 ,求a的值;
(3)若f(x)>x2在(1,+∞)上恒成立,求a的取值范圍.

【答案】
(1)解:∵f(x)=lnx﹣ ,

∴f(x)的定義域為(0,+∞), ,

∵a>0,∴f′(x)>0,

∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增


(2)解:由(1),當(dāng)a≥0時,f(x)在[1,e]上單調(diào)遞增,

∴f(x)min=f(1)=﹣a= ,

∴a=﹣ ,不舍題意,舍;

當(dāng)﹣e<a<0時,f(x)在[1,﹣a]上單調(diào)遞減,在[﹣a,e]上單調(diào)遞增,

∴f(x)min=f(﹣a)=ln(﹣a)+1= ,解得a=﹣ ;

當(dāng)a<﹣e時,f(x)在[1,e]上單調(diào)遞增,

∴f(x)min=f(1)=﹣a= ,解得a=﹣ ,不合題意,舍;

綜上所述,a=﹣


(3)解:∵ ,∴a>xlnx﹣x3

令g(x)=xlnx﹣x3,則g′(x)=lnx+1﹣3x2, ,

當(dāng)x>1時,g'(x)<0,∴g′(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,

∴g′(x)<g′(1)=2<0,

∴g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,

∴g(x)<g(1)=﹣1.

∴a≥﹣1.

∴f(x)>x2在(1,+∞)上恒成立,a的取值范圍是[﹣1,+∞)


【解析】(1)f(x)的定義域為(0,+∞), ,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.(2)由(1)根據(jù)a的取值范圍分類討論,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的值.(3)由 ,得a>xlnx﹣x3 , 令g(x)=xlnx﹣x3 , 由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍.
【考點精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù),需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能得出正確答案.

練習(xí)冊系列答案
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總計

走天橋

40

20

60

走斑馬線

20

30

50

總計

60

50

110

,算得
參照獨立性檢驗附表,得到的正確結(jié)論是(
A.有99%的把握認(rèn)為“選擇過馬路的方式與性別有關(guān)”
B.有99%的把握認(rèn)為“選擇過馬路的方式與性別無關(guān)”
C.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認(rèn)為“選擇過馬路的方式與性別有關(guān)”
D.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認(rèn)為“選擇過馬路的方式與性別無關(guān)”

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