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已知f(x)在(-1，1)上有定義f()=1，對于x，y∈(-1，1)有f(x)-f(y)=f()恒成立，對數列{xn}有x1=，xn+1=(n∈N*)．

(1)證明：f(x)在(-1，1)上為奇函數；

(2)求f(xn)的表達式；

(3)是否存在自然數m，使得對于任意n∈N*，恒成立?若存在，求出m的最小值．

(1)當x=y=0時，f(0)=0，再令x=0得f(0)-f(y)=f(-y)，即f(y)+f(-y)=0

∴f(x)在(-1，1)上為奇函數．

(2)由x1=，xn+1=(n∈N*)易知{xn}中0＜xn＜1，

∵f(xn)-f(-xn)=f()且f(x)在(-1，1)上為奇函數

∴f(xn+1)=2f(xn)，由f()=1，x1=

∴f(x1)=1

∴{f(xn)}是以1為首項、2為公比的等比數列

∴f(xn)=2n-1．

(3)

假設存在m使得恒成立，即2恒成立，

∵2＜2，∴≥2，∴m≥16，∴存在自然數m≥16，使得+…+ ＜成立，此時最小的自然數m=16．

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)=(
1
ax-1
+
1
2
)x(a＞0，a≠1)．
（1）討論f（x）的奇偶性；
（2）若f（x）＞0在定義域上恒成立，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)在(-1，1)上有定義，f()＝1，且滿足當x，y∈(-1，1)時，有f(x)-f(y)＝f()，數列{xn}中有x1＝，xn+1＝.

(1)證明f(x)在(-1，1)上為奇函數；

(2)求f(xn)的表達式；

(3)是否存在自然數m，使得對于任意n∈N*，有++…+＜成立？若存在，求出m的最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)在(-1,1)上有定義，f()=1且滿足x,y∈(-1,1)時有f(x)-f(y)=f(),對數列{xn}滿足x1=,xn+1=.

（1）求f(0)的值，并證明f(x)在(-1,1)上為奇函數;

（2）探索f(xn+1)與f(xn)的關系式，并求f(xn)的表達式;

（3）是否存在自然數m，使得對于任意的n∈N*，++…+＞恒成立？若存在，求出m的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)在(-1,1)上有定義，f()=1且滿足x,y∈(-1,1)時有f(x)-f(y)=f(),若數列{xn}滿足x1=,xn+1=.

（1）求f(0)的值，并證明f(x)在(-1,1)上為奇函數；

（2）探索f(xn+1)與f(xn)的關系式，并求f(xn)的表達式；

（3）是否存在自然數m，使得對于任意的n∈N*，有+++…+＜恒成立？若存在，求出m的最小值;若不存在，請說明理由.

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