已知f(x)在(-1,1)上有定義，f()=1且滿足x,y∈(-1,1)時(shí)有f(x)-f(y)=f(),對(duì)數(shù)列{xn}滿足x1=,xn+1=.

（1）求f(0)的值，并證明f(x)在(-1,1)上為奇函數(shù);

（2）探索f(xn+1)與f(xn)的關(guān)系式，并求f(xn)的表達(dá)式;

（3）是否存在自然數(shù)m，使得對(duì)于任意的n∈N*，++…+＞恒成立？若存在，求出m的最大值.

解:(1)令x=yf(0)=0,令x=0f(0)-f(y)=f()=f(y),∴f(-y)=-f(y).

∴f(x)在（-1，1）上為奇函數(shù).

（2）∵f(xn+1)=f()=f［］=f(xn)-f(-xn)=2f(xn),

∴=2(常數(shù)）.∴{f(xn)}為等比數(shù)列.又f(x1)=f()=1，q=2,∴f(xn)=2n-1.

（3）假使存在自然數(shù)m滿足題設(shè),則

+++……+=1++()2+……+()n-1

=2-()n-1＞對(duì)于任意的n∈N*成立.∴m＜16對(duì)于任意的n∈N*成立.

設(shè)g（x）=16，即求g（x）在n∈N*時(shí)的最小值.

當(dāng)n=1時(shí)，g（x）的最小值為12,∴m＜12，即m的最大值為11.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)=(
1
ax-1
+
1
2
)x(a＞0，a≠1)．
（1）討論f（x）的奇偶性；
（2）若f（x）＞0在定義域上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)在(-1，1)上有定義，f()＝1，且滿足當(dāng)x，y∈(-1，1)時(shí)，有f(x)-f(y)＝f()，數(shù)列{xn}中有x1＝，xn+1＝.

(1)證明f(x)在(-1，1)上為奇函數(shù)；

(2)求f(xn)的表達(dá)式；

(3)是否存在自然數(shù)m，使得對(duì)于任意n∈N*，有++…+＜成立？若存在，求出m的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)在(-1，1)上有定義f()=1，對(duì)于x，y∈(-1，1)有f(x)-f(y)=f()恒成立，對(duì)數(shù)列{xn}有x1=，xn+1=(n∈N*)．

(1)證明：f(x)在(-1，1)上為奇函數(shù)；

(2)求f(xn)的表達(dá)式；

(3)是否存在自然數(shù)m，使得對(duì)于任意n∈N*，恒成立?若存在，求出m的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)在(-1,1)上有定義，f()=1且滿足x,y∈(-1,1)時(shí)有f(x)-f(y)=f(),若數(shù)列{xn}滿足x1=,xn+1=.

（1）求f(0)的值，并證明f(x)在(-1,1)上為奇函數(shù)；

（2）探索f(xn+1)與f(xn)的關(guān)系式，并求f(xn)的表達(dá)式；

（3）是否存在自然數(shù)m，使得對(duì)于任意的n∈N*，有+++…+＜恒成立？若存在，求出m的最小值;若不存在，請(qǐng)說明理由.

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