Question

已知F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，P是此橢圓上的一動點，并且的取值范圍是．
（Ⅰ）求此橢圓的方程；
（Ⅱ）點A是橢圓的右頂點，直線y=x與橢圓交于B、C兩點（C在第一象限內(nèi)），又P、Q是橢圓上兩點，并且滿足，求證：向量共線．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)P（x₀，y₀），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
其中，．
從而．
由于，
即．
又已知，
所以
從而橢圓的方程是．

（Ⅱ）因為的平分線平行，
所以∠PCQ的平分線垂直于x軸．
由
解得．
不妨設(shè)PC的斜率為k，則QC的斜率為-k，
因此PC和QC的方程分別為y=k（x-1）+1，y=-k（x-1），
其中
消去y并整理得（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0（*）．
∵C（1，1）在橢圓上，
∴x=1是方程（*）的一個根．
從而，同理，
從而直線PQ的斜率為．
又知A（2，0），B（-1，-1），
所以，
∴向量與共線．
分析：（I）由題意設(shè)P（x₀，y₀），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）利用的取值范圍所以∠PCQ的平分線垂直于x軸．是，得到a，b的方程，求解即可；
（II）有的平分線平行，所以∠PCQ的平分線垂直于x軸，進而建立方程，解出C點，再設(shè)出PC方程進而得到QC的方程，把它與橢圓方程聯(lián)立得到直線PQ的斜率，與直線AB比較即可求證．
點評：（I）此問考查了設(shè)處點的坐標(biāo)，把已知的向量關(guān)系的等式建立成坐標(biāo)之間的關(guān)系式，還考查了橢圓的基本性質(zhì)及求解時運用的方程的思想；
（II）此問考查了設(shè)出直線把橢圓方程與直線方程進行聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出P與Q的坐標(biāo)，還考查了直線的斜率公式．