Question

（1）求中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距等于4，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3，-2

6

）的橢圓方程；
（2）求e=

6

3

，并且過(guò)點(diǎn)（3，0）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），根據(jù)題意建立關(guān)于a、b的方程組，解之可得答案；
（2）由于橢圓的焦點(diǎn)位置不確定，故進(jìn)行分類討論，根據(jù)題意分別建立關(guān)于a、b的方程組，解出a、b的值，進(jìn)而可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：（1）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
∵橢圓的焦距等于4，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3，-2

6

），

2c=2 a2-b2 =4 32 a2 + (-2 6 )2 b2 =1

，解得

a2=36 b2=32

，
∴所求的橢圓方程為

x2

36

+

y2

32

=1；
（2）①當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，
∵a=3，e=

c

a

=

6

3

，
∴c=

6

，可得b²=a²-c²=3．
此時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

9

+

y2

3

=1；
②當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，
∵b=3，e=

c

a

=

6

3

，
∴

a2-b2

a

=

6

3

，解得a²=27．
此時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

27

+

x2

9

=1．
綜上所述，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

9

+

y2

3

=1或

y2

27

+

x2

9

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，重點(diǎn)考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．