Question

【題目】如圖,曲線由曲線和曲線組成,其中點為曲線所在圓錐曲線的焦點,點為曲線所在圓錐曲線的焦點,

(1)若,求曲線的方程;

(2)如圖,作直線平行于曲線的漸近線,交曲線于點,

求證:弦的中點必在曲線的另一條漸近線上;

(3)對于(1)中的曲線,若直線過點交曲線于點,求△面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）=和=；（2）見解析；（3）.

【解析】試題分析：本題主要考查橢圓與雙曲線的方程與定義、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,考查了方程思想與弦長公式、邏輯推理能力與計算能力.(1)根據(jù)橢圓與雙曲線的性質(zhì)可得,求解可得曲線的方程;(2)由題意,設直線,與橢圓方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系與中點坐標公式求出點M的坐標,則易得結(jié)論;(3)設直線的方程為,聯(lián)立曲線C1的方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系式,結(jié)合弦長公式與點到直線的距離公式求解.

試題解析：

(1)∵,

∴,

解得,

則曲線的方程為=和=.

(2)證明:曲線的漸近線為,

如圖,設直線,

則,

化為=,

,

解得．

又由數(shù)形結(jié)合知,

設點,

則= =,

∴===,

∴,

即點在直線上.

(3)由(1)知,曲線,點,

設直線的方程為,

聯(lián)立方程組,

化為=,

,即,

設,

∴,

∴=,

===,

令,

∴,

∴===,

當且僅當,即時等號成立,

∴時, =．