Question

16、非空集合G關(guān)于運(yùn)算⊕滿足：①對于任意a、b∈G，都有a⊕b∈G；②存在e∈G，使對一切a∈G都有a⊕e=e⊕a=a，則稱G關(guān)于運(yùn)算⊕為和諧集，現(xiàn)有下列命題：
①G={a+bi|a，b為偶數(shù)}，⊕為復(fù)數(shù)的乘法，則G為和諧集；
②G={二次三項(xiàng)式}，⊕為多項(xiàng)式的加法，則G不是 和諧集；
③若⊕為實(shí)數(shù)的加法，G⊆R且G為和諧集，則G要么為0，要么為無限集；
④若⊕為實(shí)數(shù)的乘法，G⊆R且G為和諧集，則G要么為0，要么為無限集，其中正確的有

②③

．

Answer 1

分析：根據(jù)已知中關(guān)于和諧集的定義：非空集合G關(guān)于運(yùn)算⊕滿足：①對于任意a、b∈G，都有a⊕b∈G；②存在e∈G，使對一切a∈G都有a⊕e=e⊕a=a，我們利用題目四個結(jié)論中所給的運(yùn)算法則，對所給的集合進(jìn)行判斷，特別是對特殊元素進(jìn)行判斷，即可得到答案．

解答：解：對于G={a+bi|a，b為偶數(shù)}，⊕為復(fù)數(shù)的乘法，則根據(jù)偶數(shù)的和還是偶數(shù)，故滿足條件①，但不存在e∈G，使對一切a∈G都有a⊕e=e⊕a=a，不滿足條件②，
故①“G={a+bi|a，b為偶數(shù)}，⊕為復(fù)數(shù)的乘法，則G為和諧集”不正確；
對于G={二次三項(xiàng)式}，若a、b∈G時，a，b的兩個同類項(xiàng)系數(shù)，則其和不再為三項(xiàng)式，故G不是 和諧集，故②正確；
對于⊕為實(shí)數(shù)的加法，G⊆R且G為和諧集，G要么為{0}時滿足要求，若G中存在不為0的實(shí)數(shù)元素，則必為無限集，故③正確；
若⊕為實(shí)數(shù)的乘法，G⊆R且G為和諧集，則G可以為{0}，也可以為{0，1}，故④錯誤；
故答案為：②③

點(diǎn)評：此題以集合為載體，通過新定義“融洽集”，解決這類型題目時，心情平和是很重要的，對于每個小題，采用把這里的運(yùn)算⊕換成每個小題給出的運(yùn)算，逐個驗(yàn)證就可得出正確答案．從這個題可以看出，對于常見的集合中的特殊元素，我們應(yīng)該引起足夠的重視．