Question

（1）求與橢圓共焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）已知兩圓，，動(dòng)圓M與兩圓一個(gè)內(nèi)切，一個(gè)外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）先確定橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）分類討論，結(jié)合雙曲線的定義，可得點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)C₁，C₂為焦點(diǎn)的雙曲線，從而可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
解答：解：（1）橢圓中a=5，b=4，∴=3
∴橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±3，0）
∵拋物線與橢圓共焦點(diǎn)
∴拋物線方程為y²=12x或y²=-12x；
（2）設(shè)動(dòng)圓圓心M（x，y），半徑為r，
當(dāng)圓M與圓C₁：（x+4）²+y²=2外切，與圓C₂：（x-4）²+y²=2內(nèi)切時(shí)，|MC₁|=r+，|MC₂|=r-，
當(dāng)圓M與圓C₁：（x+4）²+y²=2內(nèi)切，與圓C₂：（x-4）²+y²=2外切時(shí)，|MC₁|=r-，|MC₂|=r+，
∴||MC₁|-|MC₂||=2＜8，
∴點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)C₁，C₂為焦點(diǎn)的雙曲線，且a=，c=4
∴b²=c²-a²=14，
∴動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，掌握橢圓、雙曲線、拋物線的性質(zhì)是關(guān)鍵．