Question

（1）求與橢圓共焦點的拋物線的標準方程．
（2）已知兩圓，，動圓M與兩圓一個內切，一個外切，求動圓圓心M的軌跡方程．

Answer 1

解：（1）橢圓中a=5，b=4，∴=3
∴橢圓的焦點坐標為（±3，0）
∵拋物線與橢圓共焦點
∴拋物線方程為y²=12x或y²=-12x；
（2）設動圓圓心M（x，y），半徑為r，
當圓M與圓C₁：（x+4）²+y²=2外切，與圓C₂：（x-4）²+y²=2內切時，|MC₁|=r+，|MC₂|=r-，
當圓M與圓C₁：（x+4）²+y²=2內切，與圓C₂：（x-4）²+y²=2外切時，|MC₁|=r-，|MC₂|=r+，
∴||MC₁|-|MC₂||=2＜8，
∴點M的軌跡是以點C₁，C₂為焦點的雙曲線，且a=，c=4
∴b²=c²-a²=14，
∴動圓圓心M的軌跡方程為．
分析：（1）先確定橢圓的焦點坐標，再求出拋物線的標準方程；
（2）分類討論，結合雙曲線的定義，可得點M的軌跡是以點C₁，C₂為焦點的雙曲線，從而可得雙曲線的標準方程．
點評：本題考查軌跡方程，考查學生分析解決問題的能力，掌握橢圓、雙曲線、拋物線的性質是關鍵．