【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= ,其中a∈R.
(1)若a=1,f(x)的定義域?yàn)閰^(qū)間[0,3],求f(x)的最大值和最小值;
(2)若f(x)的定義域?yàn)閰^(qū)間(0,+∞),求a的取值范圍,使f(x)在定義域內(nèi)是單調(diào)減函數(shù).

【答案】
(1)解:f(x)= = =a﹣

設(shè)x1,x2∈R,則f(x1)﹣f(x2)=

=

當(dāng)a=1時,f(x)=1﹣ ,設(shè)0≤x1<x2≤3,

則f(x1)﹣f(x2)= ,

又x1﹣x2<0,x1+1>0,x2+1>0,

∴f(x1)﹣f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2).

∴f(x)在[0,3]上是增函數(shù),

∴f(x)max=f(3)=1﹣ = ,f(x)min=f(0)=1﹣ =﹣1


(2)解:設(shè)x1>x2>0,則x1﹣x2>0,x1+1>0,x2+1>0.

若使f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),只要f(x1)﹣f(x2)<0,而f(x1)﹣f(x2)=

∴當(dāng)a+1<0,即a<﹣1時,有f(x1)﹣f(x2)<0,

∴f(x1)<f(x2).

∴當(dāng)a<﹣1時,f(x)在定義域(0,+∞)內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)


【解析】由于本題兩個小題都涉及到函數(shù)的單調(diào)性的判斷,故可先設(shè)x1 , x2∈R,得到f(x1)﹣f(x2)差,將其整理成幾個因子的乘積(1)將a=1的值代入,判斷差的符號得出函數(shù)的單調(diào)性,即可確定函數(shù)在區(qū)間[0,3]的最大值,計(jì)算出結(jié)果即可(2)由于函數(shù)是定義域(0,+∞)是減函數(shù),設(shè)x1>x2>0,則有f(x1)﹣f(x2)<0,由此不等式即可得出參數(shù)的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的值域和函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的.事實(shí)上,如果在函數(shù)的值域中存在一個最。ù螅⿺(shù),這個數(shù)就是函數(shù)的最。ù螅┲担虼饲蠛瘮(shù)的最值與值域,其實(shí)質(zhì)是相同的;函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集才能正確解答此題.

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