【題目】如圖,在正三棱柱中,側(cè)棱長和底面邊長均為1, 是的中點.
(Ⅰ)求證: ∥平面;
(Ⅱ)求與平面 所成角的正弦值;
(Ⅲ)試問線段上是否存在點,使?若存在,求 的值,若不存在,說明理由.
【答案】(1)見解析;(2) ;(3)見解析.
【解析】試題分析:(Ⅰ)連結(jié)交于點O,連結(jié)OD,則OD是的一條中位線,則
∥OD ,即可證明 ∥平面
(Ⅱ)以點D為坐標原點,DB所在直線為X軸,AD所在直線為Y軸,垂直于面ABC的直線為Z軸,建立空間直角坐標系,求出及平面ADC1的一個法向量一個法向量,即可求出與平面 所成角的正弦值;
(Ⅲ)假設(shè)點E在線段上,使,不妨設(shè)(),通過 (1) (2)求得不相等,故這樣的點E不存在..
試題解析:(Ⅰ)連結(jié)交于點O,連結(jié)OD
交于點O O是的中點
又 是的中點 OD是的一條中位線
∥OD 又
∥平面
(Ⅱ)以點D為坐標原點,DB所在直線為X軸,AD所在直線為Y軸,垂直于面ABC的直線為Z軸,建立空間直角坐標系,則D(0,0,0),A(0, ,0),C(,0,0)
在平面ADC1中, (0, ,0),
設(shè)為平面ADC1的一個法向量,則有,即
不妨令,則, ,所以
又,則
設(shè)與平面所成角為,則==
與平面所成角的正弦值為.
(Ⅲ)假設(shè)點E在線段上,使
不妨設(shè)()
,
(1) (2)
由(1)可解得 又(2)可解得,(1)與(2)矛盾,所以這樣的點E不存在.
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【題目】下列語句是否為命題?如果是,判斷它的真假.
(1)這道數(shù)學(xué)題有趣嗎?(2)0不可能不是自然數(shù);(3);(4);
(5)91不是素數(shù);(6)上海的空氣質(zhì)量越來越好.
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【題目】“過大年,吃水餃”是我國不少地方過春節(jié)的一大習(xí)俗.2018年春節(jié)前夕, 市某質(zhì)檢部門隨機抽取了100包某種品牌的速凍水餃,檢測其某項質(zhì)量指標,檢測結(jié)果如頻率分布直方圖所示.
(1)求所抽取的100包速凍水餃該項質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)(同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(2)①由直方圖可以認為,速凍水餃的該項質(zhì)量指標值服從正態(tài)分布,利用該正態(tài)分布,求落在內(nèi)的概率;
②將頻率視為概率,若某人從某超市購買了4包這種品牌的速凍水餃,記這4包速凍水餃中這種質(zhì)量指標值位于內(nèi)的包數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附:①計算得所抽查的這100包速凍水餃的質(zhì)量指標的標準差為;
②若,則, .
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【題目】函數(shù)和都不是常值函數(shù)且定義域為R,則“和同是奇函數(shù)或同是偶函數(shù)”是“和的積是偶函數(shù)”的_______________條件.
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【題目】為了解某校學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的情況,采用按性別分層抽樣的方法進行調(diào)查.已知該校共有學(xué)生960人,其中男生560人,從全校學(xué)生中抽取了容量為的樣本,得到一周參加社區(qū)服務(wù)的時間的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表:
(1)求,;
(2)能否有的把握認為該校學(xué)生一周參加社區(qū)服務(wù)時間是否超過1小時與性別有關(guān)?
附:
.
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【題目】設(shè)橢圓的左右焦點分別為F1,F2,點P 在橢圓上運動, 的最大值為m, 的最小值為n,且m≥2n,則該橢圓的離心率的取值范圍為________
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【題目】2019年3月22日是第二十七屆“世界水日”,3月22日-28日是第三十二屆“中國水周”為了倡導(dǎo)“堅持節(jié)約用水”,某興趣小組在本校4000名同學(xué)中,隨機調(diào)查了40名同學(xué)家庭中一年的月均用水量(單位:噸),并將月均用水量分為6組:,[4,6),[6,8),[8,10),[10,12),[12,14]加以統(tǒng)計,得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求出圖中實數(shù)a的值;
(2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù),估計本校4000名同學(xué)家庭中,月均用水量低于8噸的約有多少戶
(3)在月均用水量大于或等于10噸的樣本數(shù)據(jù)中,該興趣小組決定隨機抽取2名同學(xué)的家庭進行回訪,求這2名同學(xué)中恰有1人所在家庭的月均用水量屬于[10,12)組的概率.
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【題目】為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量,采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽取14件和5件,測量產(chǎn)品中的微量元素x,y的含量(單位:毫克).下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測量數(shù)據(jù):
編號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
x | 169 | 178 | 166 | 175 | 180 |
y | 75 | 80 | 77 | 70 | 81 |
已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件.
(1)求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量;
(2)當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素x,y滿足x≥175,且y≥75時,該產(chǎn)品為優(yōu)等品,用上述樣本數(shù)據(jù)估計乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量;
(3)從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中,隨機抽取2件,求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)的分布列及其均值(即數(shù)學(xué)期望).
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