【題目】已知函數(shù)h(x)=x2ex,f(x)=h(x)﹣aex(a∈R).
(Ⅰ)求函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若x1,x2∈(1,2),且x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,求a的取值范圍;
(Ⅲ)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x1,x2,求證:f(x1)f(x2)<4e﹣2.
【答案】(Ⅰ)增區(qū)間是(﹣∞,﹣2),(0,+∞);減區(qū)間是(﹣2,0).(Ⅱ)(3,8).(Ⅲ)見(jiàn)解析
【解析】
(Ⅰ)求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)函數(shù)f(x)導(dǎo)數(shù)的符號(hào),然后確定原函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)要滿(mǎn)足題意,只需函數(shù)在(1,2)內(nèi)有增有減,即存在極值點(diǎn),則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在(1,2)內(nèi)存在變號(hào)根即可;
(Ⅲ)先求出f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn),然后對(duì)兩個(gè)極值點(diǎn)的函數(shù)值結(jié)合單調(diào)性作比較來(lái)證明結(jié)論.
(Ⅰ)h(x)=x2ex,∴h′(x)=ex(x2+2x),
當(dāng)x∈(﹣∞,﹣2)∪(0,+∞)時(shí),h′(x)>0,h(x)的增區(qū)間是(﹣∞,﹣2),(0,+∞);
當(dāng)x∈(﹣2,0)時(shí),h′(x)<0,所以h(x)的減區(qū)間是(﹣2,0).
(Ⅱ)依題意,函數(shù)f(x)=ex(x2﹣a)在(1,2)上不是單調(diào)函數(shù),
因?yàn)?/span>f(x)是連續(xù)函數(shù),所以f(x)在(1,2)上需有極值,
由于f′(x)=ex(x2+2x﹣a),即x2+2x﹣a=0在(1,2)內(nèi)有變號(hào)根,
令u(x)=x2+2x﹣a,顯然該函數(shù)在(1,2)上遞增,
故需,即,解得3<a<8,
所以a的范圍是(3,8).
(Ⅲ)由h(x)=x2ex,f(x)=h(x)﹣aex,則f(x)=x2ex﹣aex,
可得f′(x)=ex(x2+2x﹣a),
設(shè)方程ex(x2+2x﹣a)=0的兩個(gè)不等實(shí)根是x1,x2,
則首先滿(mǎn)足△=4+4a>0,解得a>﹣1,
又由x2+2x﹣a=0,解得,,此時(shí)x1+x2=﹣2,x1x2=﹣a.
隨著x的變化,f′(x),f(x)的變化如下:
x | (﹣∞,x1) | x1 | (x1,x2) | x2 | (x2,+∞) |
f′(x) | + | 0 | ﹣ | 0 | + |
f(x) | 遞增 | 極大值 | 遞減 | 極小值 | 遞增 |
所以x1是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn),x2是f(x)的極小值點(diǎn).所以f(x1)是極大值,f(x2)是極小值,
,
又因?yàn)?/span>,所以
所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過(guò)點(diǎn)P(0,2),且在點(diǎn)P處有相同的切線y=4x+2.
(1)求a,b,c,d的值;
(2)若x≥-2時(shí),恒有f(x)≤kg(x),求k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價(jià)每瓶6元,未售出的酸奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間,需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:
以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.
(1)求六月份這種酸奶一天的需求量(單位:瓶)的分布列;
(2)設(shè)六月份一天銷(xiāo)售這種酸奶的利潤(rùn)為(單位:元),當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量(單位:瓶)為多少時(shí)?的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著國(guó)家二孩政策的全面放開(kāi),為了調(diào)查一線城市和非一線城市的二孩生育意愿,某機(jī)構(gòu)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從不同地區(qū)調(diào)查了位育齡婦女,結(jié)果如表.
非一線 | 一線 | 總計(jì) | |
愿生 | |||
不愿生 | |||
總計(jì) |
附表:
> | |||
由算得,參照附表,得到的正確結(jié)論是( )
A. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下,認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別有關(guān)”
B. 有以上的把握認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別有關(guān)”
C. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下,認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別無(wú)關(guān)”
D. 有以上的把握認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別無(wú)關(guān)”
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲,乙兩人進(jìn)行定點(diǎn)投籃活動(dòng),已知他們每投籃一次投中的概率分別是和,每次投籃相互獨(dú)立互不影響.
(Ⅰ)甲乙各投籃一次,記“至少有一人投中”為事件A,求事件A發(fā)生的概率;
(Ⅱ)甲乙各投籃一次,記兩人投中次數(shù)的和為X,求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(Ⅲ)甲投籃5次,投中次數(shù)為ξ,求ξ=2的概率和隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2018年“雙十一”期間,某商場(chǎng)舉辦了一次有獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng),顧客消費(fèi)每滿(mǎn)1000元可參加一次抽獎(jiǎng)(例如:顧客甲消費(fèi)930元,不得參與抽獎(jiǎng);顧客乙消費(fèi)3400元,可以抽獎(jiǎng)三次)。如圖1,在圓盤(pán)上繪制了標(biāo)有A,B,C,D的八個(gè)扇形區(qū)域,每次抽獎(jiǎng)時(shí)由顧客按動(dòng)按鈕使指針旋轉(zhuǎn)一次,旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)指針會(huì)隨機(jī)停在圓盤(pán)上的某一個(gè)位置,顧客獲獎(jiǎng)的獎(jiǎng)次由指針?biāo)竻^(qū)域決定(指針與區(qū)域邊界線粗細(xì)忽略不計(jì))。商家規(guī)定:指針停在標(biāo)A,B,C,D的扇形區(qū)域分別對(duì)應(yīng)的獎(jiǎng)金為200元、150元、100元和50元。已知標(biāo)有A,B,C,D的扇形區(qū)域的圓心角成等差數(shù)列,且標(biāo)D的扇形區(qū)域的圓心角是標(biāo)A的扇形區(qū)域的圓心角的4倍.
(I)某顧客只抽獎(jiǎng)一次,設(shè)該顧客抽獎(jiǎng)所獲得的獎(jiǎng)金數(shù)為X元,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(II)如圖2,該商場(chǎng)統(tǒng)計(jì)了活動(dòng)期間一天的顧客消費(fèi)情況.現(xiàn)按照消費(fèi)金額分層抽樣選出15位顧客代表,其中獲得獎(jiǎng)金總數(shù)不足100元的顧客代表有7位.現(xiàn)從這7位顧客代表中隨機(jī)選取兩位,求這兩位顧客的獎(jiǎng)金總數(shù)和仍不足100元的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2011年,國(guó)際數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)正式宣布,將每年的3月14日設(shè)為“國(guó)際數(shù)學(xué)節(jié)”,其來(lái)源是中國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖沖之的圓周率,為慶祝該節(jié)日,某校舉辦的“數(shù)學(xué)嘉年華”活動(dòng)中,設(shè)計(jì)了如下的有獎(jiǎng)闖關(guān)游戲:參賽選手按第一關(guān)、第二關(guān)、第三關(guān)的順序依次闖關(guān),若闖關(guān)成功,則分別獲得5個(gè)、10個(gè)、20個(gè)學(xué)豆的獎(jiǎng)勵(lì).游戲還規(guī)定:當(dāng)選手闖過(guò)一關(guān)后,可以選擇帶走相應(yīng)的學(xué)豆,結(jié)束游戲;也可以選擇繼續(xù)闖下一關(guān),若有任何一關(guān)沒(méi)有闖關(guān)成功,則全部學(xué)豆歸零,游戲結(jié)束.設(shè)選手甲能闖過(guò)第一關(guān)、第二關(guān)、第三關(guān)的概率分別為,選手選擇繼續(xù)闖關(guān)的概率均為,且各關(guān)之間闖關(guān)成功與否互不影響.
(1)求選手甲第一關(guān)闖關(guān)成功且所得學(xué)豆為零的概率;
(2)設(shè)該選手所得學(xué)豆總數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】圓錐(其中為頂點(diǎn),為底面圓心)的側(cè)面積與底面積的比是,則圓錐與它外接球(即頂點(diǎn)在球面上且底面圓周也在球面上)的體積比為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】目前,國(guó)內(nèi)很多評(píng)價(jià)機(jī)構(gòu)經(jīng)過(guò)反復(fù)調(diào)研論證,研制出“增值評(píng)價(jià)”方式。下面實(shí)例是某市對(duì)“增值評(píng)價(jià)”的簡(jiǎn)單應(yīng)用,該市教育評(píng)價(jià)部門(mén)對(duì)本市所高中按照分層抽樣的方式抽出所(其中,“重點(diǎn)高中”所分別記為,“普通高中”所分別記為),進(jìn)行跟蹤統(tǒng)計(jì)分析,將所高中新生進(jìn)行了統(tǒng)的入學(xué)測(cè)試高考后,該市教育評(píng)價(jià)部門(mén)將人學(xué)測(cè)試成績(jī)與高考成績(jī)的各校平均總分繪制成了雷達(dá)圖.點(diǎn)表示學(xué)校入學(xué)測(cè)試平均總分大約分,點(diǎn)表示學(xué)校高考平均總分大約分,則下列敘述不正確的是( )
A.各校人學(xué)統(tǒng)一測(cè)試的成績(jī)都在分以上
B.高考平均總分超過(guò)分的學(xué)校有所
C.學(xué)校成績(jī)出現(xiàn)負(fù)增幅現(xiàn)象
D.“普通高中”學(xué)生成績(jī)上升比較明顯
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