Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若，，若的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，若存在唯一的零點(diǎn)，且，其中，求.

（參考數(shù)據(jù)：，）

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2） .

【解析】

（1）將，代入函數(shù)解析式，求得并令，即可由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷單調(diào)區(qū)間.

（2）將代入函數(shù)解析式，求得.結(jié)合定義域及二次函數(shù)性質(zhì)可知的單調(diào)區(qū)間，并根據(jù)零點(diǎn)意義代入方程和函數(shù)，可得零點(diǎn)的函數(shù)表達(dá)式.構(gòu)造函數(shù)，并求得可證明的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理及所給參考數(shù)據(jù)，即可求得的值.

（1）將，代入函數(shù)解析式可得，定義域?yàn)?/span>，

則

令，解得，（舍），

所以當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

故的單調(diào)遞減區(qū)間為；的單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2）將代入函數(shù)解析式可得，

則

因?yàn)?/span>，且對(duì)于來(lái)說(shuō)，，

所以有兩個(gè)不等式實(shí)數(shù)根，

且，

所以兩根異號(hào)，不妨設(shè)則，

則由定義域?yàn)?/span>可得在內(nèi)遞減，在內(nèi)遞增，

因?yàn)?/span>，

要存在唯一的零點(diǎn)，且，則，

所以，化簡(jiǎn)可得.

令，

則

所以在時(shí)單調(diào)遞減，

由題可知，，

而，

所以

即