Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n＝4a_n－3(n∈N^*)．
(1)證明：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
(2)若數(shù)列{b_n}滿足b_n＋1＝a_n＋b_n(n∈N^*)，且b₁＝2，求數(shù)列{b_n}的通項公式．

Answer 1

(1)見解析  (2) b_n＝3×^n－1－1(n∈N^*)．

解：(1)證明：由S_n＝4a_n－3可知，
當(dāng)n＝1時，a₁＝4a₁－3，解得a₁＝1.
因為S_n＝4a_n－3，則S_n－1＝4a_n－1－3(n≥2)，
所以當(dāng)n≥2時，
a_n＝S_n－S_n－1＝4a_n－4a_n－1，
整理得a_n＝a_n－1，又a₁＝1≠0，
所以{a_n}是首項為1，公比為的等比數(shù)列．
(2)由(1)知a_n＝^n－1，
由b_n＋1＝a_n＋b_n(n∈N^*)，
得b_n＋1－b_n＝^n－1.
可得b_n＝b₁＋(b₂－b₁)＋ (b₃－b₂)＋…＋(b_n－b_n－1)
＝2＋＝3×^n－1－1(n≥2，n∈N^*)．
當(dāng)n＝1時上式也滿足條件．
所以數(shù)列{b_n}的通項公式為
b_n＝3×^n－1－1(n∈N^*)．