如圖，在四面體PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC,點(diǎn)D,E,F,G分別是棱AP,AC,BC,PB的中點(diǎn).

       （Ⅰ）求證：DE∥平面BCP；             

       （Ⅱ）求證：四邊形DEFG為矩形；

       （Ⅲ）是否存在點(diǎn)Q，到四面體PABC六條棱的中點(diǎn)的距離相等？說明理由.

證明：（Ⅰ）因?yàn)镈，E分別為AP，AC的中點(diǎn)，

所以DE//PC。

又因?yàn)镈E平面BCP，

所以DE//平面BCP。

（Ⅱ）因?yàn)镈，E，F(xiàn)，G分別為

AP，AC，BC，PB的中點(diǎn)，

所以DE//PC//FG，DG//AB//EF。

所以四邊形DEFG為平行四邊形，

又因?yàn)镻C⊥AB，

所以DE⊥DG，

所以四邊形DEFG為矩形。

（Ⅲ）存在點(diǎn)Q滿足條件，理由如下：

連接DF，EG，設(shè)Q為EG的中點(diǎn)

由（Ⅱ）知，DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=EG.

分別取PC，AB的中點(diǎn)M，N，連接ME，EN，NG，MG，MN。

與（Ⅱ）同理，可證四邊形MENG為矩形，其對(duì)角線點(diǎn)為EG的中點(diǎn)Q，

且QM=QN=EG，

所以Q為滿足條件的點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•廣州一模）如圖，在四面體PABC中，PA=PB，CA=CB，D、E、F、G分別是PA、AC、CB、BP的中點(diǎn)．
（1）求證：D、E、F、G四點(diǎn)共面；
（2）求證：PC⊥AB；
（3）若△ABC和△PAB都是等腰直角三角形，且AB=2，PC=
2
，求四面體PABC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

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（本小題滿分14分）

如圖，在四面體PABC中，PA=PB，CA=CB，D、E、F、G分別是PA，AC、CB、BP的中點(diǎn)．

(1)求證：D、E、F、G四點(diǎn)共面；

(2)求證：PC⊥AB；

(3)若△ABC和△PAB都是等腰直角三角形，且AB=2，，求四面體PABC的體積．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年廣東省江門市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖，在四面體PABC中，PA=PB，CA=CB，D、E、F、G分別是PA、AC、CB、BP的中點(diǎn)．
（1）求證：D、E、F、G四點(diǎn)共面；
（2）求證：PC⊥AB；
（3）若△ABC和△PAB都是等腰直角三角形，且AB=2，，求四面體PABC的體積．

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如圖，在四面體PABC中，PA=PB，CA=CB，D、E、F、G分別是PA、AC、CB、BP的中點(diǎn)．
（1）求證：D、E、F、G四點(diǎn)共面；
（2）求證：PC⊥AB；
（3）若△ABC和△PAB都是等腰直角三角形，且AB=2，，求四面體PABC的體積．

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