【題目】已知函數,.
(1)若函數在上是增函數,求實數的取值范圍;
(2)若存在實數使得關于的方程有三個不相等的實數根,求實數的取值范圍.
【答案】(1);(2).
【解析】
試題(1)把函數化簡為,這個分段函數是由兩個二次函數構成,右邊是開口向上的拋物線的一部分,對稱軸是,左邊是開口向下的拋物線的一部分,對稱軸是,為了使函數為增函數,因此有;(2)方程有三個不相等的實數根,就是函數的圖象與直線有三個不同的交點,為此研究函數的單調性,由(1)知當時,在上單調遞增,不合題意,當時,,在上單調增,在上單調減,在上單調增,關于的方程有三個不相等的實數根的條件是, 由此有,因為,則有,由于題中是存在,故只要大于1且小于的最大值;當時同理討論即可.
試題解析:(1),
當時,的對稱軸為:;
當時,的對稱軸為:;
∴當時,在R上是增函數,
即時,函數在上是增函數;
(2)方程的解即為方程的解.
①當時,函數在上是增函數,
∴關于的方程不可能有三個不相等的實數根;
②當時,即,
∴在上單調增,在上單調減,在上單調增,
∴當時,關于的方程有三個不相等的實數根;即,
∵∴.
設,
∵存在使得關于的方程有三個不相等的實數根,
∴,
又可證在上單調增
∴∴;
③當時,即,∴在上單調增,在上單調減,在上單調增,
∴當時,關于的方程有三個不相等的實數根;
即,∵∴,設
∵存在使得關于的方程有三個不相等的實數根,
∴,又可證在上單調減∴
∴;
綜上:.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數f(x)的定義域為R.當x<0時,f(x)=x3﹣1;當﹣1≤x≤1時,f(﹣x)=﹣f(x);當x> 時,f(x+ )=f(x﹣ ).則f(6)=( 。
A.﹣2
B.﹣1
C.0
D.2
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【題目】已知橢圓 的右焦點為,且點在橢圓上,為坐標原點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、,且,求直線的斜率的取值范圍;
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【題目】電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況,隨機抽取了100名觀眾進行調查.下面是根據調查結果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖:
將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.
根據已知條件完成下面的2×2列聯表,并據此資料,你是否認為“體育迷”與性別有關?
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【題目】我國是世界上嚴重缺水的國家,某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水,計劃調整居民生活用水收費方案,擬確定一個合理的月用水量標準x(噸),一位居民的月用水量不超過x的部分按平價收費,超出x的部分按議價收費.為了了解居民用水情況,通過抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數據按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5)分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求直方圖中a的值;
(2)設該市有30萬居民,估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數,并說明理由;
(3)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準x(噸),估計x的值,并說明理由.
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【題目】已知函數()在區(qū)間(0,)上至多取到兩次最大值,且在區(qū)間(,)上不單調,則滿足條件的的個數是( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
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【題目】已知函數的圖象與軸的交點為,它在軸右側的第一個最高點和第一個最低點的坐標分別為和.
(1)求解析式及的值;
(2)求的單調增區(qū)間;
(3)若時,函數有兩個零點,求實數的取值范圍.
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