Question

【題目】已知二次函數(shù)f（x）=ax2+（2b﹣1）x+6b﹣a為偶函數(shù)，且f（x+1）﹣f（x）=2x+1．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=f（x）+λx，求函數(shù)g（x）在[0，1]內(nèi)的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵二次函數(shù)f（x）=ax2+（2b﹣1）x+6b﹣a為偶函數(shù)，

∴2b﹣1=0，∴b= ，

∴f（x）=ax2+3﹣a

∵f（x+1）﹣f（x）=2x+1，

∴a（x+1）2+3﹣a﹣（ax2+3﹣a）=2x+1，

∴a=1，

∴f（x）=x2+2；

（2）解：由（1）得g（x）=x2+λx+2，對(duì)稱軸x=﹣

①當(dāng)﹣ ＜0即λ＜0時(shí)，函數(shù)g（x）在[0，1]內(nèi)的最小值為g（0）=2

②當(dāng)0≤ ≤1，即0≤λ≤2時(shí)，函數(shù)g（x）在[0，1]內(nèi)的最小值為g（﹣ ）=2﹣

③當(dāng) ＞1即λ＞2時(shí)，函數(shù)g（x）在[0，1]內(nèi)的最小值為g（1）=3+λ．

綜上所述，函數(shù)g（x）在[0，1]內(nèi)的最小值為

【解析】（1）利用二次函數(shù)f（x）=ax2+（2b﹣1）x+6b﹣a為偶函數(shù)，求出b，利用f（x+1）﹣f（x）=2x+1，求出a，即可求函數(shù)f（x）的解析式；（2）由（1）得g（x）=x2+λx+2，對(duì)稱軸x=﹣ ，分類討論求函數(shù)g（x）在[0，1]內(nèi)的最小值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減．