Question

（2012•安徽模擬）已知函數(shù)f（x）=msinx+ncosx，且f(

π

4

)是它的最大值（其中m，n為常數(shù)且mn≠0），給出下列命題：
①f(x+

π

4

)是偶函數(shù)； ②

m

n

=1； ③函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(

7π

4

，0)對稱；
④f(-

3π

4

)是f（x）的最大值；⑤記函數(shù)f（x）的圖象在y軸右側(cè)與直線y=

m

2

的交點按橫坐標從小到大依次為P₁，P₂，P₃，P₄，…，則|P₂P₄|=π．
其中真命題的是

①②③

．（寫出所有正確命題的編號）

Answer 1

分析：由題意可得f（x）=

m2+n2

sin（x+

1

4

π ）對于①，由于 f（x+

1

4

π ）=

m2+n2

cosx，是偶函數(shù)；對于②，由tanφ=

n

m

=1，可判斷；
對于③，由于當x=

7

4

π 時，f（x）=0，可判斷；
對于④，由于 f（-

3

4

π ）=

m2+n2

sin（-

1

2

π）=-

m2+n2

可判斷．
對于⑤，函數(shù)f（x）的圖象即把函數(shù) y=

m2+n2

sinx的圖象向左平移

1

4

π個單位得到的，故|P₂P₄|等于一個周期

解答：解：由于函數(shù)f（x）=msinx+ncosx=

m2+n2

sin（x+φ），且f（

1

4

π  ）是它的最大值，
∴

1

4

π+φ=2kπ+

1

2

π，k∈z，
∴φ=2kπ+

1

4

π，∴tanφ=

n

m

=1．
∴f（x）=

m2+n2

sin（x+2kπ+

1

4

π ）=

m2+n2

sin（x+

1

4

π ）
對于①，由于 f（x+

1

4

π  ）=

m2+n2

sin（x+

1

2

π ）=cosx，是偶函數(shù)，故①正確．
對于②，由tanφ=

n

m

=1，可得②正確．
對于③，由于當x=

7

4

π 時，f（x）=0，故函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（

7

4

π，0）對稱，故③正確．
對于④，由于  f（-

3

4

π ）=

m2+n2

sin（-

1

2

π）=-

m2+n2

是 函數(shù)f（x）的最小值，故 ④正確．
對于⑤，函數(shù)f（x）的圖象即把函數(shù) y=

m2+n2

sinx的圖象向左平移

1

4

π個單位得到的，故|P₂P₄|等于一個周期2π，故 ⑤不正確．
 故答案為：①②③

點評：本題考查兩角和正弦公式，正弦函數(shù)的最值，對稱性，奇偶性，函數(shù)圖象的變換，輔助角公式的應用，是解題的關(guān)鍵．