Question

如圖，在三棱錐B-ACD中，AB=BD=CD=1，AC=，BE⊥AC，CD⊥DE，∠DCE=30°．
（Ⅰ）求證：平面BCE⊥平面ACD；
（Ⅱ）求直線AC與平面ABD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）要證平面BCE⊥平面ACD，需證BE⊥面ACD，即可．
（Ⅱ）求直線AC與平面ABD所成角的正弦值．用等體積方法求出C到面ABD的距離即可．
解答：解：（Ⅰ）由已知得，
∴BE²+DE²=BD²，
∴BE⊥DE又∵BE⊥AC，∴BE⊥面ACD，
∵BE?，面BDE，
∴面BDE⊥面ACD

（Ⅱ）方法一：
設(shè)C到平面ABD的距離為h，由V_B-ACD=V_C-ABD，
得
則．
設(shè)AC于平面ABD所成角為α，則，
∴AC與平面ABD所成角的正弦值為．

方法二：建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則
D（0，0，0），A（，，0），
B（，0，），C（0，1，0），
∴=（，，0），=（，，0）=（，0，）
設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為n=（x，y，z），
則
∴取n=（，，-1）
設(shè)AB于平面ABD所成角為α，
∴AC與平面ABD所成角的正弦值為
點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線和平面之間的位置關(guān)系，平面與平面之間的位置關(guān)系，空間直角坐標(biāo)系的運(yùn)算，是中檔題．