如圖,在三棱錐A-BOC中,AO⊥面BOC,二面角B-AO-C是直二面角,OB=OC,∠OAB=
π6
,斜邊AB=4,動(dòng)點(diǎn)D在斜邊AB上.
(1)求證:平面COD⊥平面AOB;
(2)當(dāng)D為AB的中點(diǎn)時(shí),求:異面直線AO與CD所成角大小.
分析:(1)欲證平面COD⊥平面AOB,先證直線與平面垂直,由題意可得:CO⊥AO,BO⊥AO,CO⊥BO,所以CO⊥平面AOB,進(jìn)一步易得平面COD⊥平面AOB
(2)求異面直線所成的角,需要將兩條異面直線平移交于一點(diǎn),由D為AB的中點(diǎn),故平移時(shí)很容易應(yīng)聯(lián)想到中位線,作DE⊥OB,垂足為E,連接CE,則DE∥AO,所以∠CDE是異面直線AO與CD所成的角.
解答:解:(I)由題意,CO⊥AO,BO⊥AO,
∴∠BOC是二面角B-AO-C是直二面角,
又∵二面角B-AO-C是直二面角,
∴CO⊥BO,
又∵AO∩BO=O,
∴CO⊥平面AOB,
又CO?平面COD,
∴平面COD⊥平面AOB.(4分)
(II)作DE⊥OB,垂足為E,連接CE(如圖),則DE∥AO,
∴∠CDE是異面直線AO與CD所成的角.
在 Rt△COE中,CO=BO=
1
2
AB=2,OE=
1
2
BO=1,
∴CE=
CO 2+OE 2
=
5

又DE=
1
2
AO=
3

∴CD=
CE 2+DE 2
=2
2

∴在Rt△CDE中,cos∠CDE=
DE
CD
=
3
2
2
=
6
4

∴異面直線AO與CD所成角的余弦值大小為
6
4
.(9分)
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查空間線面關(guān)系、異面直線所成的角的度量、線面角的度量等知識(shí),考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐A-BCD中,側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜邊,且AD=
3
,BD=CD=1,另一個(gè)側(cè)面是正三角形.
(1)求證:AD⊥BC.
(2)求二面角B-AC-D的大。
(3)在直線AC上是否存在一點(diǎn)E,使ED與面BCD成30°角?若存在,確定E的位置;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐A-BOC中,AO⊥底面BOC,∠OAB=∠OAC=30°,AB=AC=4,BC=2
2
,動(dòng)點(diǎn)D在線段AB上.
(Ⅰ)求證:平面COD⊥平面AOB;
(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到線段AB的中點(diǎn)時(shí),求二面角D-CO-B的大小;
(Ⅲ)當(dāng)CD與平面AOB所成角最大時(shí),求三棱錐C-OBD的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在三棱錐A-BCD中,AD⊥平面ABC,∠BAC=120°,且AB=AC=AD=2,點(diǎn)E在BC上,且AE⊥AC.
(Ⅰ)求證:AC⊥DE;
(Ⅱ)求點(diǎn)B到平面ACD的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在三棱錐A-BCD中,側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜邊,且AD=
3
,BD=CD=1,另一個(gè)側(cè)面是正三角形
(1)求證:AD⊥BC
(2)求二面角B-AC-D的大。

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