Question

下列不等式對(duì)任意的x∈（0，+∞）恒成立的是（　�。�

• A、e^x＞ex
• B、x-x²＞0
• C、sinx＞-x+1
• D、x＞ln（1+x）

Answer 1

分析：要判斷一個(gè)不等式不是恒成立的，我們可舉一個(gè)使不等式不成立的反例即可，如當(dāng)x=1時(shí)，A中e^x＞ex與中x-x²＞0均不成立，也可以利用函數(shù)的圖象進(jìn)行分析，如對(duì)C答案的判斷，當(dāng)要說(shuō)明不等式恒成立時(shí)，我們要助于函數(shù)思想或方程思想轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或利用函數(shù)的圖象或判別式的方法求解．

解答：解：當(dāng)x=1時(shí)，e^x=ex，故A中e^x＞ex對(duì)任意的x∈（0，+∞）不恒成立；
當(dāng)x=1時(shí)，x-x²=0，故B中x-x²＞0對(duì)任意的x∈（0，+∞）不恒成立；
又∵y=sin在（0，

π

2

）上函數(shù)值由0遞增到1，
y=-x+1在（0，

π

2

）上函數(shù)值由1遞減到1-

π

2

，
故在區(qū)間（0，

π

2

）上存在實(shí)數(shù)x使sinx=-x+1，故C中sinx＞-x+1對(duì)任意的x∈（0，+∞）不恒成立；
而∵函數(shù)y=x-ln（1+x）的導(dǎo)函數(shù)y'=1-

1

x

在x∈（0，+∞）有，y'＞0恒成立
故y=x-ln（1+x）在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)，y＞y|_x=0=0，
故x＞ln（1+x）對(duì)任意的x∈（0，+∞）恒成立
故選D

點(diǎn)評(píng)：解不等式恒成立問題，通常借助于函數(shù)思想或方程思想轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或利用函數(shù)的圖象或判別式的方法求解．