Question

下列不等式對任意的x恒成立的是（　�。�

A．x-x²≥0

B．e^x≥ex

C．lnx＞x

D．sinx＞-x+1

Answer 1

分析：由x-x²≥0，解得0≤x≤1，故A不正確；令f（x）=e^x-ex，則f′（x）=e^x-e，f''（x）=e^x＞0，由f′（x）=e^x-e，得x=1，由x=1處為f（x）的極小值點，知e^x≥ex，故B成立．由lnx＞x和sinx＞-x+1都不恒成立，知C和D都不正確．

解答：解：∵x-x²≥0，∴x²-x≤0，
解得0≤x≤1，
∴A不正確；
令f（x）=e^x-ex，則f′（x）=e^x-e，
由f′（x）=e^x-e=0，得x=1，令導數為正可得x＞1，令導數為負可得x＜1
∴x=1處為f（x）的極小值點，
∴f（x）≥f（1）=0，∴e^x≥ex對任意實數恒成立，故B成立．
∵由ln1=0＜1，知lnx＞x不恒成立，
∴C不正確．
∵由sin0＜-0+1，知sinx＞-x+1不恒成立，
∴D不正確．
故選B．

點評：本題考查函數的恒成立問題，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意導數的性質和應用．