【題目】已知橢圓的離心率為，，為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的任意一點，的面積的最大值為1，、為橢圓上任意兩個關(guān)于軸對稱的點，直線與軸的交點為，直線交橢圓于另一點.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求證：直線過定點.

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）由離心率及的面積的最大值為1，即可求得，，從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，，且，由題意得且直線的斜率必存在，設(shè)：，與橢圓方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理，得，即可表示直線：，根據(jù)對稱性可知直線過的定點必在軸上，從而求出定點坐標(biāo).

試題解析：（1）∵當(dāng)M為橢圓C的短軸端點時，的面積的最大值為1

∴

∴

∵，

∴

∴橢圓C標(biāo)準(zhǔn)方程為：

（2）設(shè)，且，

∵

∴

由題意知的斜率必存在，設(shè)：，代入得，由得，.

∵

∴斜率必存在，：

由對稱性易知直線過的定點必在軸上，則當(dāng)時，得 ，即在的條件下，直線AE過定點（1，0）.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線： 的焦點與橢圓： 的一個焦點重合，點在拋物線上，過焦點的直線交拋物線于、兩點.

（Ⅰ）求拋物線的方程以及的值；

（Ⅱ）記拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點，試問是否存在常數(shù)，使得且都成立？若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，、分別為橢圓的左、右頂點，點滿足．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線經(jīng)過點且與交于不同的兩點、，試問：在軸上是否存在點，使得直線 與直線的斜率的和為定值？若存在，請求出點的坐標(biāo)及定值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，函數(shù).

（Ⅰ）判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若時，對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為菱形， 平面， ， ， ， 分別是， 的中點.

（1）證明： ；

（2）設(shè)為線段上的動點，若線段長的最小值為，求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）證明線線垂直則需證明線面垂直，根據(jù)題意易得，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，又，因此得平面，從而得證（2）先找到EH什么時候最短，顯然當(dāng)線段長的最小時， ，在中， ， ， ，∴，由中， ， ，∴.然后建立空間直角坐標(biāo)系，寫出兩個面法向量再根據(jù)向量的夾角公式即可得余弦值

解析：（1）證明：∵四邊形為菱形， ，

∴為正三角形.又為的中點，∴.

又，因此.

∵平面， 平面，∴.

而平面， 平面且，

∴平面.又平面，∴.

（2）如圖， 為上任意一點，連接， .

當(dāng)線段長的最小時， ，由（1）知，

∴平面， 平面，故.

在中， ， ， ，

∴，

由中， ， ，∴.

由（1）知， ， 兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又， 分別是， 的中點，

可得， ， ， ，

， ， ，

所以， .

設(shè)平面的一法向量為，

則因此，

取，則，

因為， ， ，所以平面，

故為平面的一法向量.又，

所以 .

易得二面角為銳角，故所求二面角的余弦值為.

【題型】解答題
【結(jié)束】
20

【題目】【2018湖北七市（州）教研協(xié)作體3月高三聯(lián)考】已知橢圓： 的左頂點為，上頂點為，直線與直線垂直，垂足為點，且點是線段的中點．

（I）求橢圓的方程；

（II）如圖，若直線： 與橢圓交于， 兩點，點在橢圓上，且四邊形為平行四邊形，求證：四邊形的面積為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓： （）經(jīng)過點，且兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形.

（1）求橢圓的方程；

（2）動直線： （， ）交橢圓于、兩點，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過點.若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，直角梯形中，，、分別是、上的點，且，．沿將四邊形翻折至，連接、、，得到多面體，且．

（Ⅰ）求多面體的體積；

（Ⅱ）求證：平面⊥平面．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著社會的發(fā)展，終身學(xué)習(xí)成為必要，工人知識要更新，學(xué)習(xí)培訓(xùn)必不可少，現(xiàn)某工廠有工人1000名，其中250名工人參加短期培訓(xùn)（稱為類工人），另外750名工人參加過長期培訓(xùn)（稱為類工人），從該工廠的工人中共抽查了100名工人，調(diào)查他們的生產(chǎn)能力（此處生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù)）得到類工人生產(chǎn)能力的莖葉圖（左圖），類工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖（右圖）.

(1)問類、類工人各抽查了多少工人，并求出直方圖中的；

(2)求類工人生產(chǎn)能力的中位數(shù)，并估計類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；

(3)若規(guī)定生產(chǎn)能力在內(nèi)為能力優(yōu)秀，由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)在答題卡上完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否可以在犯錯誤概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為生產(chǎn)能力與培訓(xùn)時間長短有關(guān).能力與培訓(xùn)時間列聯(lián)表

短期培訓(xùn)

長期培訓(xùn)

合計

能力優(yōu)秀

能力不優(yōu)秀

合計

參考數(shù)據(jù)：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

參考公式：，其中.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓過， 兩點，且圓心在直線上.

（1）求圓的方程；

（2）若直線過點且被圓截得的線段長為，求的方程.

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