Question

已知定義域為x∈R|x≠0的函數(shù)f（x）滿足；
①對于f（x）定義域內(nèi)的任意實數(shù)x，都有f（-x）+f（x）=0；
②當(dāng)x＞0時，f（x）=x²-2．
（Ⅰ）求f（x）定義域上的解析式；
（Ⅱ）解不等式：f（x）＜x．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)條件①變形，得到f（x）在定義域內(nèi)是奇函數(shù)，設(shè)x小于0，得到-x大于0，代入②中f（x）的解析式中化簡后即可得到x小于0時f（x）的解析式，綜上，得到f（x）在x大于0和小于0上的分段函數(shù)解析式；
（II）當(dāng)x大于0時和小于0時，把（I）得到的相應(yīng)的解析式代入不等式中，分別求出相應(yīng)的解集，然后求出兩解集的并集即為原不等式的解集．

解答：解：（I）∵對于f（x）定義域內(nèi)的任意實數(shù)x，都有f（-x）+f（x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
故f（x）在其定義域為{x∈R|x≠0}內(nèi)是奇函數(shù)（2分）
∵當(dāng)x＞0時，f（x）=x²-2，
設(shè)x＜0，所以-x＞0，
∴f（-x）=-f（x）=x²-2，即f（x）=2-x²，
則f(x)=

x2-2(x＞0) 2-x2(x＜0)

；（6分）
（II）∵當(dāng)x＞0時，x²-2＜x，
化簡得（x-2）（x+1）＜0，
解得：-1＜x＜2，
所以不等式的解集為0＜x＜2；
當(dāng)x＜0時，2-x²＜x，
化簡得：（x-1）（x+2）＞0，
解得：x＞1或x＜-2，
所以不等式的解集為x＜-2，
綜上，不等式f（x）＜x的解集為{x|0＜x＜2或x＜-2}．（10分）

點評：此題要求學(xué)生掌握奇函數(shù)的性質(zhì)及確定方法，考查了一元二次不等式的解法，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，是一道中檔題．