Question

已知定義域為x∈R|x≠0的函數(shù)f（x）滿足；
①對于f（x）定義域內(nèi)的任意實數(shù)x，都有f（-x）+f（x）=0；
②當(dāng)x＞0時，f（x）=x²-2．
（I）求f（x）定義域上的解析式；
（II）解不等式：f（x）＜x．

Answer 1

（I）∵對于f（x）定義域內(nèi)的任意實數(shù)x，都有f（-x）+f（x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
故f（x）在其定義域為{x∈R|x≠0}內(nèi)是奇函數(shù)（2分）
∵當(dāng)x＞0時，f（x）=x²-2，
設(shè)x＜0，所以-x＞0，
∴f（-x）=-f（x）=x²-2，即f（x）=2-x²，
則f(x)=

x2-2(x＞0) 2-x2(x＜0)

；（6分）
（II）∵當(dāng)x＞0時，x²-2＜x，
化簡得（x-2）（x+1）＜0，
解得：-1＜x＜2，
所以不等式的解集為0＜x＜2；
當(dāng)x＜0時，2-x²＜x，
化簡得：（x-1）（x+2）＞0，
解得：x＞1或x＜-2，
所以不等式的解集為x＜-2，
綜上，不等式f（x）＜x的解集為{x|0＜x＜2或x＜-2}．（10分）