Question

已知點(diǎn)、為雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作垂直于軸的直線，在軸上方交雙曲線于點(diǎn)，且，圓的方程是.
（1）求雙曲線的方程；
（2）過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為、，求的值；
（3）過(guò)圓上任意一點(diǎn)作圓的切線交雙曲線于、兩點(diǎn)，中點(diǎn)為，求證:.

Answer 1

（1）；（2）；（3）詳見(jiàn)解析.

解析試題分析：（1）作出解題所需圖形，對(duì)照?qǐng)D形和雙曲線的定義不難解決此問(wèn)題；（2）按照數(shù)量積的定義即需求模和夾角，這都可以通過(guò)解析幾何的工具性知識(shí)在形式上得到表示，然后通過(guò)設(shè)而不求和整體思想得以解決；（3）通過(guò)分析可將等式的證明轉(zhuǎn)化為垂直關(guān)系的判定，仍然運(yùn)用設(shè)而不求和整體思想來(lái)解決，注意要對(duì)直線的斜率是否存在分情況討論，這樣解題才嚴(yán)謹(jǐn).
試題解析：（1）設(shè)、的坐標(biāo)分別為、
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，即，所以 
在中，，，所以            2分
由雙曲線的定義可知：
故雙曲線的方程為：                                       4分
（2）由條件可知：兩條漸近線分別為，          5分
設(shè)雙曲線上的點(diǎn)，設(shè)的傾斜角為，則
則點(diǎn)到兩條漸近線的距離分別為，      7分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/72/d4/724d416f9cfd1e515386d5da459f4e6d.png" style="vertical-align:middle;" />在雙曲線上，所以
又，從而
所以       10分
（3）由題意，即證：.
設(shè)，切線的方程為：，且       11分
①當(dāng)時(shí)，將切線的方程代入雙曲線中，化簡(jiǎn)得：

所以：
又     13分
所以     15分
②當(dāng)時(shí)，易知上述結(jié)論也成立． 所以   &n