精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學 > 題目詳情

（理科做）：已知：如圖，△ABC的邊BC長為16，AC、AB邊上中線長的和為30．
求：（I）△ABC的重心G的軌跡；
（II）頂點A的軌跡方程．

解：（I）以BC所在的直線為X軸，BC中點為原點建立直角坐標系．
設G點坐標為（x，y），
∵重心分中線比為2：1
∴|GC|+|GB|=30× $\text{[math]}$ =20，
根據(jù)橢圓的定義可知G點的軌跡是以B，C為焦點的橢圓，且除去軸上兩點．
因a=10，c=8，有b=6，故其方程為 $\text{[math]}$ =1（y≠0）
（II）設A點坐標為（u，v）
則x= $\text{[math]}$ ，y= $\text{[math]}$ ，把（3u，3v）代入G的方程得 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（y≠0）

故頂點A的軌跡為得 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（y≠0）
分析：（I）設重心G點坐標為（x，y），以BC所在的直線為X軸，BC中點為原點建立直角坐標系．根據(jù)重心分中線比為2：1可知|GC|+|GB|=30× $\text{[math]}$ 根據(jù)橢圓的定義可知G點的軌跡是以B，C為焦點的橢圓，且除去軸上兩點．進而求得橢圓的a，c和b得到G的軌跡方程；
（II）設A點坐標為（u，v），根據(jù)重心分中線比為2：1，可得x與u，y與v的關系，代入G的軌跡方程進而可得A的軌跡方程．
點評：本題主要考查了軌跡方程的問題．本題解題的關鍵是利用了橢圓的定義求得軌跡方程．考查轉化思想．

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如圖，已知橢圓

=1（a＞b＞0）的離心率為

，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F₁，F(xiàn)₂為頂點的三角形的周長為4（

+1），一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設P為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線PF₁和PF₂與橢圓的交點分別為A、B和C、D．
（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標準方程；
（Ⅱ）設直線PF₁、PF₂的斜率分別為k₁、k₂，證明k₁•k₂=1；
（Ⅲ）（此小題僅理科做）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．

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