Question

設(shè)關(guān)于x的不等式ax²+8（a+1）x+7a+16≥0，（a∈Z），只有有限個(gè)整數(shù)解，且0是其中一個(gè)解，則全部不等式的整數(shù)解的和為

-10

．

Answer 1

分析：先確定a＜0，再利用0為其中的一個(gè)解，a∈Z，求出a的值，從而可得不等式，由此確定不等式的整數(shù)解，從而可得結(jié)論．

解答：解：設(shè)y=ax²+8（a+1）x+7a+16，其圖象為拋物線．
對(duì)于任意一個(gè)給定的a值其拋物線只有在開(kāi)口向下的情況下才能滿足y≥0而整數(shù)解只有有限個(gè)，所以a＜0．
因?yàn)?為其中的一個(gè)解可以求得a≥-

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，又a∈Z，所以a=-2，-1，
則不等式為-2x²-8x+2≥0和-x²+9≥0，可分別求得-

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-2≤x≤

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-2和-3≤x≤3，
∵x為整數(shù)，∴x=-4，-3，-2，-1，0和x=-3，-2，-1，0，1，2，3
∴全部不等式的整數(shù)解的和為-10
故答案為：-10

點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是確定a的值，求出相應(yīng)一元二次不等式的解集．