Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若曲線在點處的切線與有且只有一個公共點，求的值；

（2）求證：函數(shù)存在單調遞減區(qū)間，并求出單調遞減區(qū)間的長度的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）

【解析】

（1）注意到函數(shù)的定義域為，，.

所以，在切點處的切線的斜率為.

因此，切線方程為.

因為切線與曲線有唯一的公共點，

所以，方程有且只有一個實數(shù)解.

顯然，是方程的一個解.

令. 則.

當時，（只有時等號成立），

于是，在上單調遞增，即是方程唯一的實數(shù)解.

當時，由，得，.

在區(qū)間上，，在區(qū)間上，.

所以，函數(shù)在處有極大值，且.

而當時，，因此，在內也有一個解，矛盾.

綜上，得.

（2）注意到.

故. ①

因為，且對稱軸為，

，

所以，方程在內有兩個不同實根、，即式①的解集為.

故函數(shù)的單調遞減區(qū)間為.

則.

又因為，所以，.

從而，函數(shù)的遞減區(qū)間長度的取值范圍為.