如圖，已知ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分別是AB，PC的中點，PA=2，PD=AB，且平面MND⊥平面PCD．
（1）求證：MN⊥AB；
（2）求二面角P-CD-A的大�。�
（3）求三棱錐D-AMN的體積．
（1）∵PA⊥面ABCD，ABCD是矩形
∴∠PAC=∠PBC=90°…（2分）
又N為PC的中點，∴AN=
1
2
PC，BN=
1
2
PC
∴AN=BN…（4分）
而M是AB的中點，∴MN⊥AB…（5分）
（2）由PD=AB=DC，N是PC的中點得：ND⊥PC，
又由面MND⊥面PCD得：PC⊥面MND
∴PC⊥MN∴MP=MC…（7分）
Rt△MPA≌Rt△MCB，
∴PA=BC=2
即PA=AD=2，∠PDA=45°，…（9分）
易知∠PDA為二面角P-CD-A的平面角
∴二面角P-CD-A的大小為45°…（10分）
（3）N到平面AMD的距離d=1，AM=
2
，AD=2…（12分）
所以VD-AMN=VN-AMD=
1
3
d•S△AMD=
1
3
d•(
1
2
•AM•AD)=
2
3
…（14分）
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=
7
，PA=
3
，∠ABC=120°，G為線段PC的中點．
（1）證明：PA∥平面BGD；
（2）求直線DG與平面PAC所成的角的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如果正四棱錐的底面邊長為2，側(cè)面積為4
2
，則它的側(cè)面與底面所成的（銳）二面角的大小為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知PO⊥平面ABCD，點O在AB上，EA∥PO，四邊形ABCD是直角梯形，AB∥DC，且BC⊥AB，BC=CD=BO=PO，EA=AO=
1
2
CD．
（Ⅰ）求證：PE⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角C-PB-D的大小；
（Ⅲ）在線段PE上是否存在一點M，使DM∥平面PBC，若存在求出點M；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是AC與BD的交點，M是CC1的中點．
（1）求證：A1P⊥平面MBD；
（2）求直線B1M與平面MBD所成角的正弦值；
（3）求平面ABM與平面MBD所成銳角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖，點O是正方形紙片ABCD的中心，點E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，現(xiàn)沿對角線AC把紙片折成直二面角，則紙片折后∠EOF的大小為（　�。�
A．30°B．60°C．120°D．150°

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（理科做）（1）證明：面APC⊥面BEF；
（2）求平面PBC與平面PCD夾角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2，高為1，過頂點A作一平面α與側(cè)面BCC1B1交于EF，且EF∥BC．若平面α與底面ABC所成二面角的大小為x(0＜x≤
π
6
)，四邊形BCEF面積為y，則函數(shù)y=f（x）的圖象大致是（　�。�
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，AB=2，△PCB為正三角形，且平面PCB⊥平面ABCD，M，N分別為BC，PD的中點．
（1）求證：MN∥面APB；
（2）求二面角B-NC-P的余弦值；
（3）求四棱錐P-ABCD被截面MNC分成的上下兩部分體積之比．

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