如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，AB=2，△PCB為正三角形，且平面PCB⊥平面ABCD，M，N分別為BC，PD的中點(diǎn)．
（1）求證：MN∥面APB；
（2）求二面角B-NC-P的余弦值；
（3）求四棱錐P-ABCD被截面MNC分成的上下兩部分體積之比．
（1）證明：取AD中點(diǎn)O，連接MO，NO，
∵M(jìn)，N分別為DE，PB的中點(diǎn)，
∴ON∥PA，ON∥面PAB
又∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴OM∥AB，∵OM在平面PAB外，AB?平面PAB，
∴OM∥面PAB，
∵面MON∥面PAB，∴MN∥面PAB．（3分）
（2）建立空間直角坐標(biāo)系如圖，
由題意知：P（0，0，
3
），A（
3
，0，0），B（0，-1，0），
C（0，1，0），D(
3
，2，0)，
∵N為PD中點(diǎn)，∴N(
3
2
，1，
3
2
)，（4分）
∴
PN
=（
3
2
，1，-
3
2
），
PC
=(0，1，-
3
)，
BN
=(
3
2
，2，
3
2
)，
BC
=（0，2，0），
令平面PNC的法向量
n
=(x，y，z)，
∵
n
•
PN
=0，
n
•
PC
=0，
∴
3
2
x+y-
3
2
z=0
y-
3
z=0
，∴
n
=(-1，
3
，1)．
設(shè)平面BNC的法向量
m
=(
x1
，y1，z1)，
∵
m
•
BN
=0，
m
•
BC
=0，
∴
3
2
x1+2y1+
3
2
z1=0
2y1=0
，∴
m
=(1，0，-1)，（6分）
∴cos＜
m
，
n
＞=
-1+0-1
5
•
2
=-
10
5
，
∵二面角B-NC-P的平面角為銳角，
∴二面角B-NC-P的余弦值為
10
5
．（8分）
（3）∵
MP
=（0，0，
3
），平面MNC的法向量為
m
=(1，0，-1)，
∴點(diǎn)P到平面MNC的距離d=|
MP
•
m
m
|=|
-
3
2
|=
6
2
，
設(shè)PA中點(diǎn)為E，則NE=1，BC=2，
BC
=(0，2，0)，
CN
=(
3
2
，0，
3
2
)，
∴
BC
•
CN
=0，|
CN
|=
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，PA=2，PD=AB，且平面MND⊥平面PCD．
（1）求證：MN⊥AB；
（2）求二面角P-CD-A的大��；
（3）求三棱錐D-AMN的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，將△AED，△CDF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點(diǎn)重合于A′．

（1）求證：A′D⊥EF；
（2）求二面角A′-EF-D的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖，P是二面角α-AB-β棱AB上的一點(diǎn)，分別在α，β上引射線PM，PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角α-AB-β的大小是 ______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=
π
2
，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，EF∥BC，AE=x，G是BC的中點(diǎn)．沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如圖）．
（1）當(dāng)x=2時(shí)，求證：BD⊥EG；
（2）若以F、B、C、D為頂點(diǎn)的三棱錐的體積記為f（x），求f（x）的最大值；
（3）當(dāng)f（x）取得最大值時(shí)，求二面角D-BF-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知在三棱錐S-ABC中，底面是邊長為4的正三角形，側(cè)面SAC⊥底面ABC，M，N分別是AB，SB的中點(diǎn)，SA=SC=2
3
：
（1）求證AC⊥SB
（2）求二面角N-CM-B的大小
（3）求點(diǎn)B到面CMN的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

一個四棱錐P一ABCD的正視圖是邊長為2的正方形及其一條對角線，側(cè)視圖和俯視圖全全等的等腰直角三角形，直角邊長為2，直觀圖如圖．
（1）求四棱錐P一ABCD的體積：
（2）求二面角C-PB-A大�。�
（3）M為棱PB上的點(diǎn)，當(dāng)PM長為何值時(shí)，CM⊥PA？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知矩形ABCD中，AB=2，AD=5，E，F(xiàn)分別在AD，BC上且AE=1，BF=3，將四邊形AEFB沿EF折起，使點(diǎn)B在平面CDEF上的射影H在直線DE上．

（1）求證：AD∥平面BFC；
（2）求二面角A-DE-F的平面角的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖，已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．PB⊥AD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．直線BC∥平面PAE
D．直線PD與平面ABC所成的角為45°

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同步練習(xí)冊答案